[論文レビュー] Random matrix theory: Wigner-Dyson statistics and beyond. (Lecture notes of a course given at SISSA (Trieste, Italy))

V. E. Kravtsov|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Random Matrices and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、不変および非不変ガウスアンサンブルを分析することにより、ランダム行列理論（RMT）の包括的な理論的枠組みを提供し、ウィグナー＝ダイソン統計およびそれ以上の内容を扱う。ヤコビアン変換を用いて連関固有値分布を導出し、非線形σ模型を用いて固有関数統計を確立する。その結果、ウィグナー＝ダイソンアンサンブルでは固有関数分布がガウス分布に従い、直交およびシミプレクティックアンサンブルではポーター＝トーマス分布に従うことが明らかになり、1次元系における局在化についても正確な結果が得られる。

ABSTRACT

This is a course on Random Matrix Theory which includes traditional as well as advanced topics presented with an extensive use of classical logarithmic plasma analogy and that of the quantum systems of one-dimensional interacting fermions with inverse square interaction (Calogero-Sutherland model). Certain non-invariant random matrix ensembles are also considered with the emphasis on the eigenfunction statistics in them. The course can also be viewed as introduction to theory of localization where the (non-invariant) random matrix ensembles play a role of the toy models to illustrate functional methods based on super-vector/super-matrix representations.

研究の動機と目的

• 不変および非不変ガウスアンサンブルに基づくランダム行列理論（RMT）の理論的基盤を確立すること。
• ヤコビアン変換を用いて、不変RMTアンサンブルの固有値および固有ベクトルの連関確率分布を導出すること。
• 異なる対称性クラス（β = 1, 2, 4）における固有関数統計を分析し、非線形σ模型を用いて正確な分布を導出すること。
• 特に弱い不純度領域における1次元無秩序系における固有関数分布を調査すること。
• 臨界帯域ランダム行列アンサンブルにおける多分形性および非可積分分布の出現を示すこと。

提案手法

• 本稿では、M=0で正則なV(M)を有するPDFがexp[−Tr V(M)]に比例する不変RMTアンサンブルを用い、基底不変性を保証する。
• 固有値と固有ベクトルを分離するため、パラメータ化H = U E U†を適用し、ヤコビアンを介して測度を変換する。その際、バーデルモンデ行列式Δ²が関与する。
• 微分形式を用いてヤコビアンを導出し、J ∝ |Δ|βが得られ、固有値が重複する際にΔが消えることから、準位反発が生じる。
• 非線形σ模型を用いて固有関数モーメントを計算し、超行列QおよびQ̄上で定義された生成関数Y[Q]およびŶ[Q̄]を導入する。
• 生成関数のアプローチにより、超行列上での統合を介して固有関数分布関数を導出可能であり、反交換変数の特別な取り扱いとδのスケーリングが行われる。
• ウィグナー＝ダイソンアンサンブル（β=2）では、生成関数が指数関数に簡略化され、固有関数分布がガウス分布P(|Ψ|²) = N e^{-N|Ψ|²}をとることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変ランダム行列アンサンブルにおける固有値および固有ベクトルの連関確率分布はどのように導かれるのか。ヤコビアンはこの導出においてどのような役割を果たすのか。
• RQ2 ランダム行列理論における準位反発はなぜ生じるのか。バーデルモンデ行列式にどのように数学的に表現されるのか。
• RQ3 ウィグナー＝ダイソン、直交、シミプレクティックアンサンブルにおける固有関数分布関数の正確な形は何か。対称性クラス間でどのように異なるのか。
• RQ4 非線形σ模型を用いて、無秩序系における固有関数モーメントおよび分布関数を計算するにはどうすればよいか。
• RQ5 弱い不純度を有する1次元アンドリュー・モデルにおける固有関数分布の性質は何か。なぜ非可積分となるのか。

主な発見

• ウィグナー＝ダイソンアンサンブル（β=2）における固有関数分布は正確にガウス分布に従う：P(|Ψ|²) = N e^{-N|Ψ|²}。これは生成関数および中心極限定理から導出される。
• 直交（β=1）およびシミプレクティック（β=4）アンサンブルでは、固有関数分布はポーター＝トーマス形式に従う：P(|Ψ|²) = (βN|Ψ|²/2)^{β/2} e^{-βN|Ψ|²/2} / (N|Ψ|² Γ(β/2))。
• 弱い不純度を有する1次元アンドリュー・モデルにおける分布はP(|Ψ|²) = (V_loc / N) e^{-V_loc |Ψ|²} / |Ψ|²であり、非可積分であるが、1階モーメントは明確に定義される。
• 非可積分分布は、まれに大きな振幅を示す固有関数の存在に起因し、正規化は⟨|Ψ_n|²⟩ = 1/Nという条件によって達成される。
• 固有関数統計の導出は、非線形σ模型および生成関数のアプローチに依存しており、超行列Q上での統合によりモーメントの正確な表現が得られる。
• A_{nm} = 1 / (1 + (n−m)²/B²)で定義される臨界指数関数的帯域ランダム行列アンサンブル（RME）は多分形性を示し、d>2次元におけるアンドリュー遷移における臨界状態を正確にモデル化するが、未解決のままである。