[論文レビュー] Random MERA States and the Tightness of the Brandao-Horodecki Entropy Bound

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、レベルに依存する結合次元を備えたランダムMERA状態を構築し、隣接する区間間の相互情報量が、指数的に大きな長さスケールまで $\epsilon l$ の線形スケーリングを示すことを示した。これは、Brandao-Horodeckiエントロピー束が定数因子の違いを除いてタイトであることを示している。この状態は指数的相関関係の減少を示し、ギャップがある量子系において、相関関係の減少を伴う面積則的エンタングルメント束が最適であるという強力な証拠を提供する。

ABSTRACT

We construct a random MERA state with a bond dimension that varies with the level of the MERA. This causes the state to exhibit a very different entanglement structure from that usually seen in MERA, with neighboring intervals of length $l$ exhibiting a mutual information proportional to $εl$ for some constant $ε$, up to a length scale exponentially large in $ε$. We express the entropy of a random MERA in terms of sums over cuts through the MERA network, with the entropy in this case controlled by the cut minimizing bond dimensions cut through. One motivation for this construction is to investigate the tightness of the Brandao-Horodecki\cite{bh} entropy bound relating entanglement to correlation decay. Using the random MERA, we show that at least part of the proof is tight: there do exist states with the required property of having linear mutual information between neighboring intervals at all length scales. We conjecture that this state has exponential correlation decay and that it demonstrates that the Brandao-Horodecki bound is tight (at least up to constant factors), and we provide some numerical evidence for this as well as a sketch of how a proof of correlation decay might proceed.

研究の動機と目的

• ギャップがある量子系において、エンタングルメントエントロピーと指数的相関関係の減少の関係を定めるBrandao-Horodecki(BH)エントロピー束のタイト性を調査すること。
• 相関関係の減少の制約下で、隣接する区間間の最大の可能な相互情報量を実現する量子状態を構築すること。
• 線形相互情報量と指数的相関関係の減少を示す状態を提示することで、BH束が定数因子の違いを除いてタイトであることを証明すること。
• 高次元において、このような状態が同時にボリューム則的エンタングルメントと超指数的相関関係の減少を示すことができるかを調査すること。

提案手法

• レベルごとに変化する結合次元を持つランダムMERA(Multi-scale Entanglement Renormalization Ansatz)を構築し、エンタングルメント構造を調整する。
• 部分系のフォン・ノイマンエントロピーをMERAネットワーク上のカットを通る和として表現し、最小カットがエントロピーを決定する。
• MERAの各レベルにランダム等長変換を用い、結合次元を調整することで相互情報量と相関関係の減少を制御する。
• 測度集中と確率的議論を用いて、低エンタングルメントまたは長距離相関の事象が指数的にまれであると主張する。
• 再帰関係を変更し、結合次元にべき則係数 $\kappa < 1$ を含めることで、ボリューム則的エンタングルメントと指数的でない相関関係の減少を実現する。
• 各レベルで等長変換を繰り返すことでランダム性を低減しながら、漸近的エンタングルメント行動を維持する修正MERAを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての長さスケールで、指数的相関関係の減少を維持しながら、隣接する区間間の相互情報量が線形にスケーリングする量子状態が存在可能か？
• RQ2 Brandao-Horodeckiエントロピー束はタイトか、それとも非多項式因子で改善可能か？
• RQ3 高次元において、ボリューム則的エンタングルメントと超指数的相関関係の減少を同時に示す状態が存在するか？
• RQ4 確率的または測度集中の技法を用いて、構築されたランダムMERA状態における相関関係の減少を厳密に証明できるか？

主な発見

• 構築されたランダムMERA状態は、定数 $\epsilon$ に対して、指数的に大きな長さスケールまで、隣接する区間間の相互情報量が $\epsilon l$ の線形スケーリングを示す。
• 部分系のエントロピーはMERAネットワーク上の最小カットによって決定され、そのカットに沿った結合次元がエンタングルメントを制御する。
• 数値的証拠とヒューリスティックな議論から、この状態は指数的相関関係の減少を示すとされ、BH束が定数因子の違いを除いてタイトであるという仮説を支持する。
• 再帰関係を変更し、べき則係数 $\kappa < 1$ を含めることで、ボリューム則的エンタングルメントと $\exp(-l^\kappa / \text{const.})$ の相関関係の減少を実現できる。
• 高次元において、$d$ 次元空間において任意の $\kappa < d$ に対して、ボリューム則的エンタングルメントと任意の指数的より速い相関関係の減少を示すMERA状態の構築が可能であると示唆される。
• 等長変換をサイト間で繰り返すなど、ランダム性を低減した状態においても、この状態は安定しており、漸近的エンタングルメント行動が保持される。