[論文レビュー] Random motions with space-varying velocities

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Diffusion and Search Dynamics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間に依存する速度を伴う直線および平面における確率的運動を調査し、一般化されたトレボル方程式およびオイラー＝ポincare＝ダルブー（EPD）方程式を解くことにより、粒子の位置の明示的な確率分布を導出する。主な貢献は、空間依存速度を伴う減衰波動方程式の解析的解法であり、分布の台がスーパーエリプス（例：アステロイド）の形をとることを明らかにしている。多項式速度プロファイルおよび分数階EPD型方程式に対し、正確な解が得られる。

ABSTRACT

Random motions on the line and on the plane with space-varying velocities are considered and analyzed in this paper. On the line we investigate symmetric and asymmetric telegraph processes with space-dependent velocities and we are able to present the explicit distribution of the position $\mathcal{T}(t)$, $t>0$, of the moving particle. Also the case of a non-homogeneous Poisson process (with rate $λ= λ(t)$) governing the changes of direction is analyzed in three specific cases. For the special case $λ(t)= α/t$ we obtain a random motion related to the Euler-Poisson-Darboux (EPD) equation which generalizes the well-known case treated e.g. in Foong and Van Kolck (1992), Garra and Orsingher (2016) and Rosencrans (1973). A EPD--type fractional equation is also considered and a parabolic solution (which in dimension $d=1$ has the structure of a probability density) is obtained. Planar random motions with space--varying velocities and infinite directions are finally analyzed in Section 5. We are able to present their explicit distributions and for polynomial-type velocity structures we obtain the hyper and hypo-elliptic form of their support (of which we provide a picture).

研究の動機と目的

• 古典的なトレボル過程を、直線および平面における空間依存速度に拡張すること。
• 方向変更を支配する非一様ポアソン過程のもとでの粒子位置の明示的確率法則を導出すること。
• 多項式速度関数を伴う平面的確率的運動の台の幾何的構造を分析すること。
• 空間依存速度および分数階形態を含むように、オイラー＝ポincare＝ダルブー方程式を一般化すること。
• 確率的飛行モデルと係数が空間に依存する減衰波動方程式との関係を確立すること。

提案手法

• 変数係数トレボル方程式を、変数変換 $ y = \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} $ を用いることで古典的形に変換し、明示的解の導出を可能にする。
• 特性曲線法および修正ベッセル関数の恒等式を用いて、空間依存 $ c(x) $ を伴う1次元トレボル方程式を解き、$ I_0 $ およびデルタ関数を含む確率密度を得る。
• 同様の変換 $ u = \int_0^x \frac{dw}{c_1(w)}, v = \int_0^y \frac{dz}{c_2(z)} $ を用いて、空間依存 $ c_1(x), c_2(y) $ を伴う平面的減衰波動方程式を標準形に還元する。
• 時間間隔の積分と第一種ベッセル関数を用いて、方向変更回数 $ N(t) = n $ のもとでの位置ベクトル $ (X(t), Y(t)) $ の条件付き特性関数を導出する。
• すべての可能な方向変更回数 $ n $ について和をとることで、$ J_0 $ 関数を含む級数形で表される完全な確率密度を構成する。
• べき則速度関数 $ c_j(x) \propto |x|^\gamma $ の場合の分布の台 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ を分析し、それがスーパーエリプス（ラマ曲線）を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間依存速度 $ c(x) $ の導入が、1次元トレボル過程の確率分布に与える影響は何か？
• RQ2 各座標方向の位置に依存する速度を伴う平面的確率的運動の台の幾何的構造は何か？
• RQ3 空間依存速度を含むように、オイラー＝ポincare＝ダルブー方程式を一般化できるか？ その結果得られる解は何か？
• RQ4 時間依存率 $ \lambda(t) $ を伴う非一様ポアソン過程が、空間依存速度と組み合わさった場合、運動の分布に与える影響は何か？
• RQ5 分数階微分は、空間依存速度を伴う確率的運動をモデル化するために果たす役割は何か？ また、非負の解が得られるか？

主な発見

• 空間依存速度 $ c(x) $ を伴う1次元対称トレボル過程において、位置確率密度は、修正ベッセル関数 $ I_0 $、デルタ関数、および領域 $ D $ 上の特性関数を含む式で明示的に与えられる。ここで $ D $ は $ \left| \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} \right| < t $ で定義される。
• $ \lambda(t) = \alpha / t $ の場合、モデルはオイラー＝ポincare＝ダルブー方程式に関連する解を導出し、先行研究の既知の結果を一般化する。
• 速度関数 $ c_1(x), c_2(y) $ を伴う平面的運動において、台 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ は、$ \left( \frac{c_1 |x|^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right)^2 + \left( \frac{c_2 |y|^{1-\beta}}{1-\beta} \right)^2 < t^2 $ で定義されるスーパーエリプスであり、$ \gamma = \beta = 2/3 $ の場合にアステロイドを含む。
• 分離可能な空間依存速度 $ c_j(x_j) $ を伴う $ d $ 次元運動の確率密度は、$ \Gamma $-関数と時間距離項の累乗を含む閉形式で与えられる。これは $ \sum_{j=1}^d \left| \int_0^{x_j} \frac{du_j}{c_j(u_j)} \right|^2 < t^2 $ のとき有効である。
• $ c_1(x) = c_1 $, $ c_2(y) = c_2 $ の場合、台は楕円 $ c_1^2 |x|^2 + c_2^2 |y|^2 < t^2 $ に簡略化され、既知の結果と整合性を示す。
• $ c_j(x) \propto |x|^{2/3} $ の場合、台の境界はアステロイドとなり、$ c_1 = c_2 = 1/3 $ のとき、境界は正確にアステロイド $ 9|x|^{2/3} + 9|y|^{2/3} < t^2 $ となる。