[論文レビュー] Random periodic solutions and ergodicity for stochastic differential equations

Kenneth Uda, Huaizhong Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リャプノフ関数、2点生成子、強フェラー性、弱収束を用いて、R^d 上の確率微分方程式における安定な確率的周期的解の存在およびエルゴード性の十分条件を確立する。主な貢献は、ドリフト係数の可積分性条件下で、Krylov–Bogolyubovスキームが周期的測度に対して収束することの証明であり、これにより確率的周期的状態における長期的統計的安定性が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we establish some sufficient conditions for the existence of stable random periodic solutions of stochastic differential equations and ergodicity in the random periodic regime. The techniques involve the existence of Lyapunov type function, using two-point generator of the stochastic flow map, strong Feller argument and weak convergence.

研究の動機と目的

• R^d 上の確率微分方程式における安定な確率的周期的解の存在の十分条件を確立すること。
• 非定常かつ確率的に摂動を受ける系への古典的エルゴード理論の拡張として、確率的周期的状態におけるエルゴード性を調査すること。
• 先行研究における形式的定義および道具の欠如に応じて、確率的周期的解のための厳密な数学的枠組みを構築すること。
• ドリフト係数の可積分性および減衰条件の下で、Krylov–Bogolyubovスキームが周期的測度に対して収束することを証明すること。
• 時刻周期的ノイズ構造を有する確率的力学系の文脈において、不変測度の理論を周期的測度へと拡張すること。

提案手法

• 解の成長を制御し、確率的周期的状態における安定性を保証するために、リャプノフ型関数を用いる。
• 遷移確率の無限小的変化を分析するために、確率的フロー写像の2点生成子を用いる。
• 遷移確率の正則性および初期条件への滑らかな依存性を保証するために、強フェラー性を適用する。
• 遷移確率の長期的挙動が周期的測度へ収束することを分析するために、弱収束技法を用いる。
• 遷移確率と不変測度の差を評価するために、ホルダーの不等式および指数モーメント推定を適用する。
• 一般のボレル集合へ収束結果を拡張するために、示性関数を有界リプシッツ関数で近似する密度論法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d 上の確率微分方程式が安定な確率的周期的解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 古典的エルゴード性（定常測度に対するもの）に類似した形で、確率的周期的状態におけるエルゴード性はどのように確立できるか？
• RQ3 時刻周期的ノイズが存在する状況で、Krylov–Bogolyubovスキームが周期的測度に対して収束するための条件は何か？
• RQ4 2点生成子と強フェラー性は、確率的周期性を有するSDEの長期的統計的挙動を分析するためにどのように利用できるか？
• RQ5 ドリフト係数の可積分性が、周期的測度の存在および一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、リャプノフ型条件およびドリフト係数の可積分性の下で、周期的測度に対するKrylov–Bogolyubovスキームが指数関数的に速く収束することを証明している。
• 収束に対して一様な指数的減衰率 β^nτ（0 < β < 1）が確立され、長期的に統計的安定性が保証される。
• 2点生成子が特定の有界性および減衰条件を満たす場合、確率的周期的解の存在が保証され、これは確率的時間シフト θτ におけるパスワイズ不変性を意味する。
• 強フェラー性を用いることで、遷移確率が滑らかであることが保証され、これにより周期的測度への弱収束技法の適用が可能になる。
• 収束性がすべてのボレル集合 A ⊂ L_s に対して示されており、有界リプシッツ関数を超えて密度論法により拡張されている。
• 周期的測度がマコフ進化 (T_{s+kτ,s})_k∈ℕ に対して不変であることが確立され、これが確率的周期的状態における長期的統計的アトラクターとしての役割を果たすことが確認された。