[論文レビュー] Random Permutations, Random Sudoku Matrices and Randomized Algorithms

Krasimir Yordzhev|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

graph theory and CDMA systems被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\Pi_n$ 行列—$\mathbb{Z}_n$ の置換としての行をもつ $(2n) \times n$ 行列—の構造を活用して、ランダムな $n^2 \times n^2$ サイズのスデューカマトリクスを生成する新しい確率的アルゴリズムを提案する。本稿では、スデューカの制約をバイナリ行列として表現するための全単射写像 $\varphi: \Pi_n \to \Sigma_{n^2}$ を導入し、効率的な非交差性の検査を可能にする。主な貢献は、段階的に非交差な $\Pi_n$ 行列を組み合わせることで有効なスデューカマトリクスを構築する $O(n^4)$ 時間のアルゴリズムであり、単純なモンテカルロサンプルに比べて顕著に改善されている。

ABSTRACT

Some randomized algorithms, used to obtain a random $n^2 imes n^2$ Sudoku matrix, where $n$ is a natural number, is reviewed in this study. Below is described the set $Π_n$ of all $(2n) imes n$ matrices, consisting of elements of the set $\mathbb{Z}_n =\{ 1,2,\ldots ,n\}$, such that every row is a permutation. It is proved that such matrices would be particularly useful in developing efficient algorithms in generating Sudoku matrices. An algorithm to obtain random $Π_n$ matrices is presented in this paper. The algorithms are evaluated according to two criteria - probability evaluation, and time evaluation. This type of criteria is interesting from both theoretical and practical point of view because they are particularly useful in the analysis of computer programs.

研究の動機と目的

• ランダムな $n^2 \times n^2$ サイズのスデューカマトリクスを生成するための効率的な確率的アルゴリズムの開発。
• スデューカマトリクスの構築ブロックとして機能する、各行が $\mathbb{Z}_n$ の置換である $(2n) \times n$ 行列の集合 $\Pi_n$ を形式化すること。
• $\Pi_n$ 行列をスデューカのブロック制約を符号化するバイナリ行列に変換する全単射写像 $\varphi: \Pi_n \to \Sigma_{n^2}$ を確立すること。
• 確率論的および時間計算量の観点からアルゴリズムを評価し、単純なモンテカルロサンプルに比べて優れた効率性を示すこと。

提案手法

• $\Pi_n$ を、各行が $\mathbb{Z}_n$ の置換である $(2n) \times n$ 行列の集合として定義し、スデューカの構築の基盤とする。
• 各行に $\mathbb{Z}_n$ の要素を置換することでランダムな $\Pi_n$ 行列を生成するためのアルゴリズム 3.1 を導入する。
• 各 $P_k \in \Pi_n$ をバイナリ行列 $A = \varphi(P_k) \in \Sigma_{n^2}$ に写像するアルゴリズム 3.3 を開発し、$A$ がユニット行列を用いてブロック位置を符号化する。
• 全単射写像 $\varphi$ を用いて非交差性を検証する：2つの $\Pi_n$ 行列が非交差であることは、それに対応する $\Sigma_{n^2}$ 行列に重複する 1 要素が存在しないことと同値である。
• 最終的なスデューカマトリクス $S$ を、$B = \sum A_k$ がバイナリ行列（要素が 0 または 1）のまま保たれる限り、$k \cdot A_k$ を $S$ に加算することで段階的に構築する。
• while ループを用いて $P_k$ を再サンプリングするアルゴリズム 4.1 を適用し、非交差な $\Pi_n$ 行列が得られるまで繰り返すことで、有効なスデューカ制約を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Pi_n$ 行列は、ランダムなスデューカマトリクスの生成に構造的な基盤として利用可能か？
• RQ2 $\Pi_n$ 行列とバイナリ行列 $\Sigma_{n^2}$ の間には、スデューカ制約を保持する全単射写像が存在するか？
• RQ3 $\Sigma_{n^2}$ 表現を用いて、$\Pi_n$ 行列の非交差性を効率的に検証できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、単純なモンテカルロサンプルに比べて、より優れた時間計算量を達成できるか？
• RQ5 この手法を用いてスデューカマトリクスを構築する際の、1イテレーションあたりの成功確率はいかほどか？

主な発見

• $\Pi_n$ には $n!^{2n}$ 個の要素が含まれており、すべての $P \in \Pi_n$ は一意にバイナリ行列 $A = \varphi(P) \in \Sigma_{n^2}$ に対応するため、全単射が確立される。
• 2つの $\Pi_n$ 行列が非交差であることは、それに対応する $\Sigma_{n^2}$ 行列に重複する 1 要素が存在しないことと同値であり、行列の和を用いた効率的な検証が可能になる。
• 提案されたアルゴリズム 4.1 の時間計算量は $O(n^4)$ であり、制約チェックの最適化により、単純なモンテカルロ法の $O(n^6)$ に比べ顕著に優れている。
• 1イテレーションあたりの成功確率は $p(n) = \sigma_n / n^{2n^2}$ であり、$\sigma_n$ は有効な $n^2 \times n^2$ サイズのスデューカマトリクスの数である。$\sigma_2 = 288$ であり、$\sigma_3 \approx 6.671 \times 10^{21}$ である。
• アルゴリズムは構成上正しく保証される：最終的なスデューカマトリクスに加算される行列は、すべての行・列・ブロックの置換制約を満たしている。
• 全スデューカ制約のブルートフォース検証を避けるために、それらをバイナリ行列に符号化することで、1行列あたりの検証時間を $O(n^3)$ から $O(n)$ に削減している。