[論文レビュー] Random perturbations of non-uniformly expanding maps

José F. Alves, Vı́tor Araújo|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 50

ひとこと要約

本稿では、非一様に拡大する写像（臨界集合を有する・ない場合を含む）の確率的安定性について、マルコフ分割と不変の葉層構造を用いた確率的摂動の分析により、十分かつ必要十分な条件を確立する。小さなノイズ下で、確率的軌道の統計的挙動を記述する物理的測度の数が、SRB測度の数によって上から抑えられることを証明し、[Vi1] や [ABV] で導入された写像のクラスに対して確率的安定性を確認する。

ABSTRACT

We give both sufficient conditions and necessary conditions for the stochastic stability of non-uniformly expanding maps either with or without critical sets. We also show that the number of probability measures describing the statistical asymptotic behaviour of random orbits is bounded by the number of SRB measures if the noise level is small enough. As an application of these results we prove the stochastic stability of certain classes of non-uniformly expanding maps introduced in \cite{V} and \cite{ABV}.

研究の動機と目的

• 非一様に拡大する力学系（臨界集合を有する・ない場合を含む）における確率的安定性の十分かつ必要十分な条件を確立すること。
• 確率的摂動が軌道の統計的挙動に与える影響、特にディラック測度の時間平均の収束を分析すること。
• 小さなノイズ下で、確率的軌道の長期的統計的挙動を記述する物理的測度の数が、SRB測度の数によって上から抑えられることを示すこと。
• [Vi1] および [ABV] で導入された特定の非一様に拡大する写像のクラスに対する確率的安定性を証明すること。

提案手法

• パrameter $ t \to T $ に従って定義される $ C^2 $ 写像の族 $ f_t $ を用いて確率的軌道を定義し、$ t^* $ の近傍に台を持つノイズ分布 $ \theta_\epsilon $ を導入する。ここで $ f = f_{t^*} $ である。
• 弱-*位相を用いて、確率的軌道に沿ったディラック測度の時間平均の弱収束として物理的測度 $ \mu^\epsilon $ を定義する。
• ベクトル場 $ (\xi^c(\underline{t},z), 1) $ の解を用いて不変の葉層 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $ を構成し、水平拡大性とホモトピー的障害の議論により一意性を保証する。
• 不変の葉の補集合の逆像としてマルコフ分割 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ を定義し、時間とともに細分化され、指数関数的サイズ推定が得られる。
• 動的系の連続性と、$ \xi^c(\underline{t}^*, \cdot) $ が元の摂動なしの葉層に対応することを用いて、$ \epsilon $ が十分に小さいとき、$ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ がゼロに一様に近いことを確立する。
• 得られたマルコフ構造を用いて、集合 $ B_1(n) $ および $ B_2(n) $ のリーマン測度に関する定量的推定を得る。定数は二次写像 $ Q $ のみに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな確率的摂動下で、非一様に拡大する写像がどの条件下で確率的安定性を示すか。
• RQ2 確率的軌道の物理的測度の数は、元の系におけるSRB測度の数とどのように関係するか。
• RQ3 [Vi1] および [ABV] で導入された写像のクラスの確率的安定性が、この枠組みを用いて厳密に確立可能か。
• RQ4 不変の葉層とマルコフ分割は、非一様に双曲的力学系における確率的安定性の証明にどのように寄与するか。
• RQ5 中心方向 $ \xi^c $ がゼロに一様に近いという性質が、統計的性質の安定性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 非一様に拡大する写像（臨界集合を有する・ない場合を含む）の確率的安定性の十分かつ必要十分な条件が確立された。
• ノイズレベル $ \epsilon $ が十分に小さいとき、確率的軌道の統計的挙動を記述する物理的測度の数は、SRB測度の数によって上から抑えられる。
• 十分に小さい $ \epsilon > 0 $ に対して、写像 $ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ はゼロに一様に近くなり、良好に振る舞う不変の葉層 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $ の存在を保証する。
• 水平拡大性とホモトピー的障害の議論により、ベクトル場 $ (\xi^c(\underline{t}, z), 1) $ の積分曲線の一意性が証明された。
• 不変の葉の逆像として構成されたマルコフ分割 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ は、$ \omega \in \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ に対して、$ (d - \text{const} \cdot \alpha)^{-n} \leq |\omega| \leq (d + \text{const} \cdot \alpha)^{-n} $ を満たす。
• 本結果により、[Vi1] および [ABV] で導入された非一様に拡大する写像のクラスが、小さな確率的摂動下で確率的安定性を示すことが確認された。