[論文レビュー] Random Projections and Sampling Algorithms for Clustering of High-Dimensional Polygonal Curves

Stefan Meintrup, Alexander Munteanu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Clustering Algorithms Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、入力サイズに部分線形依存性を有する効率的なkメディアンクラスタリングを実現するため、高次元の多角形曲線に対するジョンソン＝リンデンストラウス型のランダム射影を導入する。フリチェット距離を用いた誤差解析を通じて、CUDA並列化された高速なアルゴリズムを提案し、スケーラブルなクラスタリングを実現するとともに、確率的還元のもとで√2未満の要因でフリチェット距離を近似することは不可能であることを証明する。

ABSTRACT

We study the $k$-median clustering problem for high-dimensional polygonal curves with finite but unbounded number of vertices. We tackle the computational issue that arises from the high number of dimensions by defining a Johnson-Lindenstrauss projection for polygonal curves. We analyze the resulting error in terms of the Fr\'echet distance, which is a tractable and natural dissimilarity measure for curves. Our clustering algorithms achieve sublinear dependency on the number of input curves via subsampling. Also, we show that the Fr\'echet distance can not be approximated within any factor of less than $\sqrt{2}$ by probabilistically reducing the dependency on the number of vertices of the curves. As a consequence we provide a fast, CUDA-parallelized version of the Alt and Godau algorithm for computing the Fr\'echet distance and use it to evaluate our results empirically.

研究の動機と目的

• 無制限の頂点数を有する高次元多角形曲線に対するkメディアンクラスタリングの計算非可能性に対処すること。
• サブサンプリング技術を用いて入力曲線数への依存度を低減すること。
• 多角形曲線に特化したジョンソン＝リンデンストラウス射影を定義し、制御された誤差のもとでフリチェット距離を保存すること。
• 確率的還元を用いてフリチェット距離の近似における理論的限界を確立すること。
• AltとGodauのアルゴリズムの高速でCUDA並列化された実装を実装し、実験的に評価すること。

提案手法

• 多角形曲線に特化した新しいジョンソン＝リンデンストラウス射影を提案し、次元削減と同時にフリチェット距離構造を保存する。
• 射影によって生じる誤差をフリチェット距離の観点から分析し、歪みに関する理論的バウンドを提供する。
• サブサンプリングを用いてクラスタリングパイプラインにおける入力曲線数への部分線形依存度を達成する。
• AltとGodauのアルゴリズムのCUDA並列化実装を開発し、効率的なフリチェット距離計算を実現する。
• 確率的還元を用いて、√2未満の要因でフリチェット距離を近似することは不可能であることを証明する。
• 射影、サブサンプリング、並列化された距離計算を統合し、高次元曲線へのスケーラブルなクラスタリングを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム射影を高次元多角形曲線のフリチェット距離を保存するように効果的に適応できるか？
• RQ2 このような射影の理論的誤差バウンドは、フリチェット距離の観点からどの程度か？
• RQ3 サブサンプリングにより、kメディアンクラスタリングにおける入力曲線数への依存度を低減できるか、かつ正確性を維持できるか？
• RQ4 確率的手法を用いて、√2未満の要因でフリチェット距離を近似することは可能か？
• RQ5 高次元曲線に対して、スケール上でフリチェット距離をどの程度効率的に計算できるか？

主な発見

• 提案された多角形曲線向けランダム射影は、フリチェット距離の観点から有界な誤差を保証し、次元削減後の信頼性のあるクラスタリングを可能にする。
• 効果的なサブサンプリングにより、クラスタリングパイプラインが入力曲線数に対して部分線形依存度を達成する。
• AltとGodauのアルゴリズムのCUDA並列化実装により、高速でスケーラブルなフリチェット距離計算が実現される。
• 本稿では、確率的還元のもとで、√2未満の要因でフリチェット距離を近似することは不可能であることを証明する。
• 実験的評価により、提案されたパイプラインが高次元曲線データセットにおいて効率的かつ正確であることが確認される。
• 理論的および実験的結果が統合され、高次元多角形曲線のクラスタリングのためのスケーラブルなフレームワークが確立される。