[論文レビュー] Random repeated interaction quantum systems

Laurent Bruneau, Alain Joye+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 31, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、小さな量子系Sが逐次的に独立でランダムに準備された環境E_mと相互作用する、ランダム繰り返し相互作用量子系の厳密なフレームワークを確立する。エルゴディック平均収束および摂動論を用いて、初期状態がほとんど確実に、環境鎖の温度に比例する比を有する普遍的な熱力学第二法則を満たす漸近状態に収束することを証明している。スピンおよびフェルミオン系バーストモデルにおいて、ランダムな相互作用パラメータのもとで正確な解が導出されている。

ABSTRACT

We consider a quantum system S interacting sequentially with independent systems E_m, m=1,2,... Before interacting, each E_m is in a possibly random state, and each interaction is characterized by an interaction time and an interaction operator, both possibly random. We prove that any initial state converges to an asymptotic state almost surely in the ergodic mean, provided the couplings satisfy a mild effectiveness condition. We analyze the macroscopic properties of the asymptotic state and show that it satisfies a second law of thermodynamics. We solve exactly a model in which S and all the E_m are spins: we find the exact asymptotic state, in case the interaction time, the temperature, and the excitation energies of the E_m vary randomly. We analyze a model in which S is a spin and the E_m are thermal fermion baths and obtain the asymptotic state by rigorous perturbation theory, for random interaction times varying slightly around a fixed mean, and for small values of a coupling constant.

研究の動機と目的

• 量子系Sがランダムに分布する環境E_mと繰り返し相互作用する一般の数学的フレームワークを構築すること。これには、ランダムな相互作用時間および演算子を含む。
• 結合の弱い有効性条件のもとで、系の状態がエルゴディック平均において一意の漸近状態にほとんど確実に収束することを証明すること。
• 漸近状態の巨視的熱力学的性質を分析し、初期状態に依存しない普遍的な熱力学第二法則を確立すること。
• ランダムな相互作用時間、温度、励起エネルギーを有するスピン-スピンモデルの正確な漸近状態を求める。
• 厳密な摂動論を用いて、ランダムな熱的フェルミオン系バーストに結合するスピンS系の漸近状態を導出すること。

提案手法

• 非平衡量子統計力学の技術とランダム行列積理論を組み合わせ、時系列順で区分定数の相互作用を分析する。
• 各ランダム実現ωに対して、進化演算子M(ω)を、結合定数λの2次までのDyson級数展開で計算する。
• 期待値E[M]に対する摂動論を適用し、λおよびσ（相互作用時間の揺らぎ）のべき級数に展開する。
• 摂動的展開の収束を保証するため、λおよびσに条件を課す。これには、演算子ノルムおよび双曲線関数の境界を用いる。
• Sの不変部分空間上で、転送演算子M(ω)のブロック対角構造を活用して、スペクトル解析を簡略化する。
• λおよびσの展開を用いて、E[M*]の不変ベクトルψ*ₐを導出し、漸近状態の明示的表現を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子系Sがランダムに分布する環境E_mと繰り返し相互作用する場合、長時間極限において一意の漸近状態に収束するか？
• RQ2 漸近状態の巨視的熱力学的性質（特にエネルギーおよびエントロピーの変化）は何か？また、これは熱力学第二法則を満たすか？
• RQ3 ランダムな相互作用時間、温度、励起エネルギーを有するスピン-Sおよびスピン-E_mモデルにおいて、漸近状態を正確に計算できるか？
• RQ4 フェルミオン系バーストモデルにおいて、漸近状態は相互作用時間および結合強度の統計的分布にどのように依存するか？
• RQ5 相互作用時間の揺らぎに起因する漸近状態の一次補正は何か？また、摂動論においてどのように表現されるか？

主な発見

• 結合が弱い有効性条件を満たす限り、任意の初期状態がエルゴディック平均においてほとんど確実に一意の漸近状態に収束する。
• 漸近状態は普遍的な熱力学第二法則を満たす：エネルギー変化はエントロピー変化に比例し、その比は環境鎖の温度に等しい。
• ランダムな相互作用時間、温度、励起エネルギーを有するスピン-スピンモデルにおいて、正確な漸近状態が導出され、その状態が確率変数のモーメントに依存することが示された。
• 結合定数λが小さく、相互作用時間の揺らぎσが小さいフェルミオン系バーストモデルにおいて、漸近状態はO(λ²)およびO(σ²)まで摂動的に計算可能であり、E[σ]、E[σ²]および高次モーメントを含む明示的補正が得られた。
• 不変状態ψ*ₐの一次補正はE[σ]およびE[σ²]に比例し、係数は相互作用ハミルトニアンから導かれるα±、ξ±、η±に依存する。
• λおよびσに関する十分条件を用いて収束を証明した。これにより、スペクトルギャップが0から離れて保たれることを保証する。