[論文レビュー] Random Sampling of Entire Functions of Exponential Type in Several Variables

Karlheinz Gröchenig, Richard F. Bass|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2007

Mathematical Approximation and Integration参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多変数のバンドリミテッド関数の確率的サンプリングを、確率的手法を用いて調査する。無限大領域（例：ℝᵈ）におけるランダム集合では、サンプリング不等式がほとんど確実に成立しないが、サンプリングサイズが十分に大きい場合、バンドリミテッド関数のコンパクト部分集合では、メトリックエントロピーおよびカバー数の推定を用いて乖離確率を制御することで、サンプリング不等式が途方なく高い確率で成立することを示している。

ABSTRACT

We consider the problem of random sampling for band-limited functions. When can a band-limited function $f$ be recovered from randomly chosen samples $f(x_j), j\in \mathbb{N}$? We estimate the probability that a sampling inequality of the form A\|f\|_2^2 \leq \sum_{j\in \mathbb{N}} |f(x_j)|^2 \leq B \|f\|_2^2 hold uniformly all functions $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ with supp $\hat{f} \subseteq [-1/2,1/2]^d$ or some subset of \bdl functions. In contrast to discrete models, the space of band-limited functions is infinite-dimensional and its functions "live" on the unbounded set $\mathbb{R}^d$. This fact raises new problems and leads to both negative and positive results. (a) With probability one, the sampling inequality fails for any reasonable definition of a random set on $\mathbb{R}^d$, e.g., for spatial Poisson processes or uniform distribution over disjoint cubes. (b) With overwhelming probability, the sampling inequality holds for certain compact subsets of the space of band-limited functions and for sufficiently large sampling size.

研究の動機と目的

• ℝᵈにおけるランダムサンプリング集合が、スペクトルが$[-1/2, 1/2]^d$ に含まれるバンドリミテッド関数に対して一様サンプリング不等式を満たす確率を特定すること。
• 多変数バンドリミテッド関数空間における無限次元性および非有界領域の課題に対処すること。
• ランダムサンプリング集合が高確率で安定回復をもたらす条件を確立すること。
• 1次元またはコンパクト領域に限らない確率的サンプリング理論を、高次元で非コンパクトな領域へと拡張すること。
• カバー数および集中不等式を用いて、サンプリング不等式の失敗確率の定量的バインドを提供すること。

提案手法

• バンドリミテッド関数空間における関数クラスの複雑さを制御するために、メトリックエントロピーおよびカバー数の推定を用いる。
• 関数クラス上の確率過程の上界を制御するために、ダイアディック分解を用いたチェイングの議論を適用する。
• サブガウス過程に対するベルンシュタイン型不等式を用いて、サンプリング偏差の上界の尾確率を制限する。
• 関数クラス上の有限εネット上で、$ Y_j(f) = |f(x_j)|^2 - \mathbb{E}[|f(x_j)|^2] $ という確率過程を導入し、その上界を分析する。
• 解像度を段階的に高めるネットを用いた、レベル$ \ell $ におけるダイアディックなチェイング構成を用いて、関数クラスのエントロピーを制御する。
• エントロピー積分を用いて指数的尾確率を導出し、指数的に増加するスケールの和に対する不等式を適用して、総合的な失敗確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈにおけるランダムサンプリング集合が、スペクトルが$[-1/2, 1/2]^d$ に含まれるすべてのバンドリミテッド関数に対して一様サンプリング不等式を満たす確率は何か？
• RQ2 非有界かつ無限次元な関数空間におけるランダムサンプリング集合に対して、安定サンプリングを高確率で保証できるか？
• RQ3 サンプル数が増加するにつれて、サンプリング不等式の失敗確率はどのように減少するか？
• RQ4 カバー数およびメトリックエントロピーは、多変数バンドリミテッド空間におけるランダムサンプリングの安定性をどのように定量化するか？
• RQ5 確率的手法は、高次元サンプリング理論における決定的特徴付けの欠如を克服できるか？

主な発見

• 任意の合理的なランダム集合モデル（例：ポアソン過程や互いに素な立方体上での一様サンプリング）に関して、ℝᵈ上ではサンプリング不等式が確率1で失敗する。
• サンプリングサイズが十分に大きい場合、バンドリミテッド関数空間のコンパクト部分集合上では、サンプリング不等式が途方なく高い確率で成立する。
• 失敗確率はサンプル数に関して指数的に減少し、$ \exp\left(-C \frac{\lambda^2}{r R^{-d} + \lambda}\right) $ の形をとり、ここで$ r $ はサンプル数である。
• 尾確率の指数部は、$ \approx 0.0393 $ に下界をもつ（$ \sqrt{2}/36 $ から導出）、非自明な減少率を示している。
• 尾確率の定数$ A $ は、$ \exp(C R^d) $ に至るまでしか増加しないことが示され、ドメインサイズおよび次元依存性を反映している。
• 十分に大きな$ \lambda $ に対して、失敗確率は$ \exp(-c \lambda^2 / (r R^{-d} + \lambda)) $ の形で減少する項によって上界が与えられ、高確率での安定性が保証される。