[論文レビュー] Random Sampling of Quantum States: a Survey of Methods And Some Issues Regarding the Overparametrized Method

Jonas Maziero|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダム量子状態（RQS）を生成する手法をレビューし、複素ガウス行列からランダム密度行列を生成する数値的に効率的なアプローチとしての過パrametr化法（OPM）に焦点を当てる。本稿は、パrameterドメインの選択に起因する状態空間における過剰な測度集中という深刻な問題を特定し、高次元において統計的均一性が損なわれることを示している。

ABSTRACT

"The numerical generation of random quantum states (RQS) is an important procedure for investigations in quantum information science. Here, we review some meth- ods that may be used for performing that task. We start by presenting a simple procedure for generating random state vectors, for which the main tool is the random sam- pling of unbiased discrete probability distributions (DPD). Afterwards, the creation of random density matrices is addressed. In this context, we first present the standard method, which consists in using the spectral decomposition of a quantum state for getting RQS from random DPDs and random unitary matrices. In the sequence, the Bloch vector parametrization method is described. This approach, despite being useful in several instances, is not in general conve- nient for RQS generation. In the last part of the article, we regard the overparametrized method (OPM) and the related Ginibre and Bures techniques. The OPM can be used to cre- ate random positive semidefinite matrices with unit trace from randomly produced general complex matrices in a sim- ple way that is friendly for numerical implementations. We consider a physically relevant issue related to the possible domains that may be used for the real and imaginary parts ? Jonas Maziero [e-mail] 1 Departamento de F ́ ısica, Centro de Ci ˆ encias Naturais e Exatas, Universidade Federal de Santa Maria, Avenida Roraima 1000, 97105-900, Santa Maria, RS, Brazil 2 Instituto de F ́ ısica, Facultad de Ingenier ́ ıa, Universidad de la Rep ́ ublica, J. Herrera y Reissig 565, 11300, Montevideo, Uruguay of the elements of such general complex matrices. Subse- quently, a too fast concentration of measure in the quantum state space that appears in this parametrization is noticed."

研究の動機と目的

• ランダム量子状態を生成する既存および新興の手法をレビュー・比較すること。
• ランダム密度行列を生成する実用的で数値的に扱いやすい手法としての過パrametrized法（OPM）を分析すること。
• OPMにおけるパrameterドメインの選択が、特に測度集中に関連して、物理的および統計的意味に与える影響を調査すること。

提案手法

• OPMは、ランダムに抽出された複素行列の二乗によって、トレースが1の正定値半行列を生成する。
• ランダム状態ベクトルは、不偏な離散確率分布（DPD）を介して生成され、状態ベクトルのサンプリングの基盤をなす。
• 標準的手法は、ランダムなDPDとランダムユニタリ行列を用いた固有値分解を用いてRQSを生成する。
• ブロイドベクトルパラメータ化はレビューされたが、幾何的制約のため、一般のRQS生成には実用的でないとされる。
• ジニブレおよびバース方式は、OPMフレームワーク内での関連手法として議論された。
• 複素行列の実部および虚部のドメインが、得られる状態分布に与える影響が検討された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過パrametrized法（OPM）は、標準的なRQS生成手法と比較して、効率性および正確性においてどのように異なるか？
• RQ2 OPMにおける複素行列の実部および虚部のドメインの選択が、統計的結果にどのような影響を及えるか？
• RQ3 なぜOPMは高次元量子状態空間において測度の急速な集中を示すのか？
• RQ4 OPMはどの程度、一様に分布した量子状態を生成できていないのか？
• RQ5 測度集中の問題が存在するにもかかわらず、OPMは量子情報シミュレーションで信頼性を持って使用可能か？

主な発見

• 過パrametrized法（OPM）は、一般の複素行列からランダム密度行列を生成する簡単で数値的に効率的な手法を提供する。
• OPMは、特に高次元において、量子状態空間における測度の急速な集中を引き起こし、均一性が損なわれる。
• 複素行列要素の実部および虚部のドメインの選択が、得られる状態分布に顕著な影響を与える。
• ブロイドベクトルパラメータ化は、一部の文脈では有用であるが、効率的なRQS生成には一般的に適さない。
• ランダムDPDとユニタリ行列を用いた固有値分解に基づく標準的手法は、RQS生成の信頼できるベンチマークのままである。
• OPMの単純さは、深刻な統計的欠陥によって相殺される：状態が状態空間の小さな領域に過剰に集中する。