[論文レビュー] Random Series of Trace Class Operators

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ガウス過程およびラデマッハ系列を用いてトレースクラス作用素の確率的級数のほとんど確実収束を調べ、$L_p$-ノルムにおける収束とほとんど確実収束を結びつける確率的枠組みを確立する。主な貢献は、テンソル積分解と解析的UMD性質を用いて、ほとんど確実に収束する級数の空間 $G(B)$ および $R(B)$ を特徴づけることであり、特に適切な条件下で $R(E\widehat{\otimes}F) \subset R(E)\widehat{\otimes}F + E\widehat{\otimes}R(F)$ を示している。

ABSTRACT

In this lecture, we present some results on Gaussian (or Rademacher) random series of trace class operators, mainly due jointly with F. Lust-Piquard. We will emphasize the probabilistic reformulation of these results, as well as the open problems suggested by them. We start by a brief survey of what is known about the problem of characterizing a.s. convergent (Gaussian or Rademacher) series of random vectors in a Banach space. The main result presented here is that for certain pairs of Banach spaces $E,F$ that include Hilbert spaces (and type 2 spaces with the analytic UMD property), we have $$ R(E\hat\otimes F) =R(E)\hat\otimes F + E\hat\otimes R(F) $$ where $R(E)$ denotes the space of convergent Rademacher series with coefficients in $E$ and $E\hat\otimes F$ denotes the projective tensor product.

研究の動機と目的

• Banach空間 $B$ における確率的級数 $\sum g_n x_n$ および $\sum \varepsilon_n x_n$ のほとんど確実収束を、確率論的および関数解析的道具を用いて特徴づける。
• ほとんど確実に収束する級数の空間 $G(B)$ および $R(B)$ を、特定の条件下で $L_p(\mu; \ell_2)$ または $H^1$-に基づく空間と同型であると特定する。
• 作用素空間におけるラデマッハ級数空間 $R$ に対して、導分型の公式を確立し、$R(E\widehat{\otimes}F) \subset R(E)\widehat{\otimes}F + E\widehat{\otimes}R(F)$ を示す。
• 特に $E=F=G=\ell_2$ の場合に、高次テンソル積および $R$-空間の2階微分に関する未解決問題を検討する。

提案手法

• 任意の $p$ に対して $0 \leq p < \infty$ において、ほとんど確実収束と $L_p$-収束が同値であることを用い、問題を $L_2$-ノルム推定に還元する。
• 問題1の一般解としてタラグランドの主要測度条件を適用するが、$L_p$、ヒルベルト空間、作用素空間など、追加の構造を持つ具体的なBanach空間に焦点を当てる。
• 解析的UMD性質およびハール型分解を用いて、$H^1(\Delta, B)$ の関数を $g_m, h_m$ を用いて表現し、級数表現を抽出する。
• 複素のシュタインハウス系列 $f(t_0,t_1,\ldots) = \sum e^{it_n} x_n$ を導入し、無限次元トーラス $\Delta$ における積分を用いて $L_1$-ノルムとラデマッハ系列ノルムを関連付ける。
• $H^2(\Delta, E)$ および $H^2(\Delta, F)$ 上の $L_2$-推定を用いてノルム不等式を導出し、$\|\sum \varepsilon_n x_n\|_{R(E\widehat{\otimes}F)}$ の上限を得る。
• 無限次元トーラスの構造と条件付き期待値 $E_n$ を用いて、$x_n$ を $d_n g_m$ および $d_n h_m$ を含む成分に分解し、テンソル分解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach空間 $B$ 内の列 $(x_n)$ に対して、確率的級数 $\sum g_n x_n$ がノルムにおいてほとんど確実に収束するための条件は何か？
• RQ2 作用素空間 $E\widehat{\otimes}F$ 上のほとんど確実に収束するラデマッハ級数空間 $R(E\widehat{\otimes}F)$ は、$R(E)\widehat{\otimes}F$ と $E\widehat{\otimes}R(F)$ の和として特徴づけられるか？
• RQ3 $1 < p, q < 2$ のとき、空間 $L_p\widehat{\otimes}L_q$ は有限型の型をもつか？また、$2 \leq p, q < \infty$ のとき、その型は何か？
• RQ4 導分型の公式は、高次テンソル積 $R(E\widehat{\otimes}F\widehat{\otimes}G)$ に拡張可能か？特に、各因子における $R$-項の和として得られるか？
• RQ5 積分法則に類似した2階微分公式が、$R_1(R_2(E\widehat{\otimes}F))$ に対して確立可能か？

主な発見

• ほとんど確実に収束するガウス級数およびラデマッハ級数の空間 $G(B)$ および $R(B)$ は、$B = L_p(\mu)$ のとき $L_p(\mu; \ell_2)$ と同型であり、ノルムは $p$ のみに依存する同等ノルムをもつ。
• $B = L_p(\mu)$ かつ $1 \leq p < \infty$ のとき、級数 $\sum \varepsilon_n x_n$ はほとんど確実に収束するための必要十分条件は、$\int \left( \sum |x_n(s)|^2 \right)^{p/2} d\mu(s) < \infty$ である。
• 空間 $R(E\widehat{\otimes}F)$ は $R(E)\widehat{\otimes}F + E\widehat{\otimes}R(F)$ に含まれ、包含写像のノルムはUMD定数 $K(E)$ および $K(F)$ に依存する定数で有界である。
• 空間 $R(E\widehat{\otimes}F)$ 内での $\sum \varepsilon_n x_n$ のノルムは、$4(CK(E) + CK(F)) \|S\|_{R(E\widehat{\otimes}F)}$ で有界であり、定数が制御された包含関係が証明された。
• $2 \leq p, q < \infty$ のとき、空間 $L_p\widehat{\otimes}L_q$ は型 $\max(p,q)$ をもつ。これは既知の $p=q=2$ の場合の結果を拡張する。
• 未解決問題として、$1 < p < 2$ かつ $1 < q \leq 2$ のとき、$L_p\widehat{\otimes}L_q$ が有限型（例えば型2）をもつかどうか、また $\ell_2\widehat{\otimes}\ell_2\widehat{\otimes}\ell_2$ が有限型をもつかどうかが残っている。