[論文レビュー] Random Sets and Invariants for (Type II) Continuous Tensor Product Systems of Hilbert Spaces

Volkmar Liebscher|ArXiv.org|Jun 25, 2003

Fuzzy and Soft Set Theory被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、[0,1] または R+ 上の定常的で分解型の確率的閉集合の測度型と、型 II の連続的テンソル積系（CTPS）との間の対応関係を確立し、これらの測度型が不変量として機能することを示している。また、任意のこのような測度型が一意に生成する CTPS が存在することを証明し、型 III の CTPS の分類を型 II に還元する。さらに、CTPS の可測構造がその代数的構造によって一意に決定されることを示している。

ABSTRACT

In a series of papers Tsirelson constructed from measure types of random sets and generalised random processes a new range of examples for continuous tensor product systems of Hilbert spaces introduced by Arveson for classifying $E_0$-semigroups. This paper establishes the converse: Each continuous tensor product systems of Hilbert spaces comes with measure types of distributions of random (closed) sets in [0,1] or $R_+$. These measure types are stationary and factorise over disjoint intervals. In a special case of this construction, the corresponding measure type is an invariant of the product system and the range of the invariant is characterized. Moreover, based on a detailed study of this kind of measure types, we construct for each stationary factorizing measure type a continuous tensor product systems of Hilbert spaces such that this measure type arises as the before mentioned invariant. The measure types of the above described kind are connected with representations of the corresponding $L^\infty$-spaces. This leads to direct integral representations of the elements of a given product system which combine well under tensor products. Using this structure in a constructive way, we can relate to any (type III) product system a product system of type $II_0$ preserving isomorphy classes. Thus, the classification of type III product systems reduces to that of type II ones. Further, we show that all consistent measurable structures on an algebraic continuous tensor product systems of Hilbert spaces yield isomorphic product systems. Thus the measurable structure of a continuous tensor product systems of Hilbert spaces is essentially determined by its algebraic one.

研究の動機と目的

• 本稿は、型 II の CTPS の不変量として確率的閉集合の測度型を導入することにより、連続的テンソル積系（CTPS）の分類を完成させることを目的としている。
• 本稿は、ツィレルソンの構成の逆を確立し、CTPS と確率的閉集合の分布とを結びつけることを目的としている。
• 本稿は、定常的で分解型の測度型が型 II の CTPS を完全に決定することを示すことで、分類スキームの統合を図ることを目的としている。
• 本稿は、直接積分表現と L∞-表現が CTPS の分析および構成にどのように利用できるかを調査している。
• 本稿は、CTPS の可測構造がその代数的構造によって一意に決定されることを示し、分類における曖昧さを排除することを目的としている。

提案手法

• 本稿は、ユニットと分解型射影を用いて、[0,1] または R+ 上の確率的閉集合の測度型への写像を構成する。
• 測度型が定常的であり、互いに素な区間上で分解することを証明し、CTPS の不変量であることを示している。
• 構成は、測度型に関連する L∞-代数の表現による CTPS 要素の直接積分表現を用いている。
• 定常的で分解型の測度型と CTPS の間の全射的対応を確立し、任意のこのような測度型が一意に生成する CTPS が存在することを示している。
• GNS 型表現と代数的構造を用いて、CTPS 上に内在的な可測構造を定義している。
• 本稿は、単一の周期的ユニタリ群の連続性が、適合する可測構造の存在を示し、すべてのこのような構造が同型な CTPS を与えることを証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の [0,1] または R+ 上の定常的で分解型の確率的閉集合の測度型は、ヒルベルト空間の連続的テンソル積系（CTPS）を構成するために使用可能か？
• RQ2 型 II の CTPS に関連する確率的集合の測度型は、同型を除いて系を分類する不変量か？
• RQ3 連続的テンソル積系の可測構造は、その代数的構造にのみ依存するのか、それとも同型でない複数の可測構造が存在するのか？
• RQ4 型 III の CTPS の分類は、対応する型 II 系を構成することによって、型 II（または型 II0）の分類に還元可能か？
• RQ5 CTPS の自己同型は、その正規化されたユニット上に推移的に作用するか？この性質が不変量および構造理論に与える影響は何か？

主な発見

• 任意の [0,1] または R+ 上の定常的で分解型の確率的閉集合の測度型は、一意に生成される連続的テンソル積系（CTPS）をもたらす。
• 型 II の CTPS に関連する確率的集合の測度型は、同型を除いて系を分類する不変量である。
• 連続的テンソル積系の可測構造は、その代数的構造によって一意に決定されるため、すべての適合する可測構造は同型な系を与える。
• 型 III の連続的テンソル積系の分類は、同型類を保存する構成を用いて、型 II（および型 II0）の系の分類に還元可能である。
• CTPS の直接積分表現はテンソル積と両立し、測度型の L∞-表現から自然に生じる。
• CTPS からその関連する確率的集合の測度型への写像は全射である。つまり、任意のこのような測度型は、ある CTPS から生じる。