[論文レビュー] Random Switching between Vector Fields Having a Common Zero

Michel Benaı̈m, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点で共通のゼロを持つベクトル場をランダムに切り替える Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP) を研究する。平衡点まわりの線形化系を分析することで、上位のリャプノフ指数が長期的挙動を決定することを確立する。負であれば、過程は指数関数的に原点に収束する。正であれば、非可約性および弱エルミート型（hypoellipticity）条件の下で、原点から離れた場所に台を持つ一意な不変測度に分布収束する。

ABSTRACT

Let $E$ be a finite set, $\{F^i\}_{i \in E}$ a family of vector fields on $\mathbb{R}^d$ leaving positively invariant a compact set $M$ and having a common zero $p \in M.$ We consider a piecewise deterministic Markov process $(X,I)$ on $M imes E$ defined by $\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$ where $I$ is a jump process controlled by $X:$ $\Pr(I_{t+s} = j | (X_u, I_u)_{u \leq t}) = a_{i j}(X_t) s + o(s)$ for $i eq j$ on $\{I_t = i \}.$ We show that the behavior of $(X,I)$ is mainly determined by the behavior of the linearized process $(Y,J)$ where $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t,$ $A^i$ is the Jacobian matrix of $F^i$ at $p$ and $J$ is the jump process with rates $(a_{ij}(p)).$ We introduce two quantities $Λ^-$ and $Λ^+$ respectively %called the {\em minimal} and {\em maximal average growth rate.} $Λ^-$ (respectively $Λ^+$) is defined as the {\em minimal} (respectively {\em maximal}) {\em growth rate} of $\|Y_t\|,$ where the minimum (respectively maximum) is taken over all the ergodic measures of the angular process $(Θ, J)$ with $Θ_t = \frac{Y_t}{\|Y_t\|}.$ It is shown that $Λ^+$ coincides with the top Lyapunov exponent (in the sense of ergodic theory) of $(Y,J)$ and that under general assumptions $Λ^- = Λ^+.$ We then prove that, under certain irreducibility conditions, $X_t o p$ exponentially fast when $Λ^+ < 0$ and $(X,I)$ converges in distribution at an exponential rate toward a (unique) invariant measure supported by $M \setminus \{p\} imes E$ when $Λ^- > 0.$ Some applications to certain epidemic models in a fluctuating environment are discussed and illustrate our results.

研究の動機と目的

• 共通の平衡点が原点にあるベクトル場をランダムに切り替えるPDMPの長期的挙動を理解すること。
• 過程が平衡点に収束する（絶滅）か、それ以外の場所に恒常的にとどまる（確率的恒常性）かの条件を特定すること。
• 線形化系の上位リャプノフ指数と非線形系の漸近的挙動との間の関係を確立すること。
• 状態依存のスイッチングレートとコンパクトな不変集合を持つ系に対して、指数的収束および不変測度の結果を拡張すること。
• 変動環境下の疫学的モデルにフレームワークを適用し、恒常性と絶滅の状況を提示すること。

提案手法

• 状態依存レート $a_{ij}(x)$ を持つジャンプ過程 $I_t$ を用いて、$\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$ としてPDMPのダイナミクスを形式化する。
• 共通のゼロ $p=0$ のまわりで系を線形化し、$\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$ を得る。ここで $A^i$ は $F^i$ の 0 におけるヤコビ行列である。
• 角度過程 $\Theta_t = Y_t / \|Y_t\|$ を定義し、そのエルゴード測度を分析して成長率 $\Lambda^-$ と $\Lambda^+$ を定義する。
• $\Lambda^+$ が線形化系 $(Y,J)$ の上位リャプノフ指数に一致することを示し、一般条件下で $\Lambda^- = \Lambda^+$ を示す。
• 確率的恒常性理論を用いて、$\Lambda^- > 0$ のとき $(X_t, I_t)$ が $M \setminus \{0\} \times E$ 上に台を持つ一意な不変確率測度に分布収束することを証明し、$\Lambda^+ < 0$ のとき原点への確率1収束を示す。
• 結果を環境変動のある疫学的モデルに適用し、スイッチングレートが疾患の恒常性または絶滅に与える影響を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDMP が共通のゼロを持つベクトル場間をランダムにスイッチするとき、どのような条件下で原点に確率的かつ指数的収束するか？
• RQ2 線形化系の上位リャプノフ指数が、非線形スイッチング過程の長期的挙動をどのように決定するか？
• RQ3 過程が確率的恒常性を示すとは、すなわち $M \setminus \{0\} \times E$ 上に台を持つ一意な不変測度に分布収束することとは、どのような条件で成立するか？
• RQ4 非可約性および弱エルミート型（Hörmander-type）条件が、指数的収束および不変測度の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 このフレームワークを、ランダムに変動する環境下での感染症ダイナミクスのモデル化にどのように応用できるか。また、恒常性または絶滅を決定づける要因は何か？

主な発見

• 線形化系 $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$ の上位リャプノフ指数 $\Lambda^+$ は、角度過程のエルゴード測度上で $\|Y_t\|$ の最大成長率 $\Lambda^+$ に一致する。
• 一般仮定の下で、最小成長率と最大成長率は $\Lambda^- = \Lambda^+$ を満たし、線形化系に一意の指数的成長率が存在することを示す。
• $\Lambda^+ < 0$ であれば、$X_t \to 0$ が確率1かつ指数的収束する。これは原点付近での過程の絶滅を示す。
• $\Lambda^- > 0$ であれば、$(X_t, I_t)$ は $M \setminus \{0\} \times E$ 上に台を持つ一意な不変確率測度に分布収束する。これは確率的恒常性を示す。
• 非可約性および弱エルミート型（hypoellipticity）条件の下で、不変測度への全 Variation 収束が指数的であることを確立する。
• 疫学的モデルへの応用により、環境状態間のスイッチングが、個々のベクトル場が不安定であっても、$\Lambda^+$ の符号に応じて恒常性または絶滅を引き起こすことが示された。