[論文レビュー] Random Tensor models: Combinatorics, Geometry, Quantum Gravity and Integrability

Stéphane Dartois|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、ランダム行列モデルの一般化としてのランダムテンソルモデルを調査し、その組合せ論的構造、幾何学的性質、量子重力への応用、および可積分性に焦点を当てている。特に、次元 $d=4k+2$ の四次メロン型テンソルモデルのクラスに対して、行列モデルで用いられる主要な道具である位相的再帰（topological recursion）およびループ方程式（loop equations）を拡張し、ループ方程式が再帰的構造を保つことを示した。また、スペクトル曲線およびリーマン面のモジュライ空間を介した幾何的解釈の可能性を示唆している。

ABSTRACT

In this thesis manuscript we explore different facets of random tensor models. These models have been introduced to mimic the incredible successes of random matrix models in physics, mathematics and combinatorics. After giving a very short introduction to few aspects of random matrix models and recalling a physical motivation called Group Field Theory, we start exploring the world of random tensor models and its relation to geometry, quantum gravity and combinatorics. We first define these models in a natural way and discuss their geometry and combinatorics. After these first explorations we start generalizing random matrix methods to random tensors in order to describes the mathematical and physical properties of random tensor models, at least in some specific cases.

研究の動機と目的

• ランダム行列モデルの技法、特に位相的再帰およびループ方程式を、高次元におけるランダムテンソルモデルへ一般化すること。
• 特に $d \geq 3$ の場合に、ランダムテンソルモデルが生成する $d$ 次元トリアングリュレーションの組合せ論的・幾何学的構造を理解すること。
• 行列モデルで成功した位相的再帰形式主義が、四次メロン型相互作用を有する特定のテンソルモデル族へ拡張可能かどうかを調査すること。
• テンソルモデルにおけるループ方程式の代数的構造と、リー代数およびテンソル不変量との関係を調査すること。
• これらのモデルにおける観測量が、特に位相的でない領域において、スペクトル曲線の幾何的データに関連づけられるかどうかを検討すること。

提案手法

• 一行列モデルにおける位相的再帰形式主義を、四次メロン型相互作用を有するランダムテンソルモデルのクラスへ適応する。
• ヘルミート型一行列モデルのヴァイラソロ制約を一般化する、微分作用素が部分ワイト代数を形成するループ方程式を導出する。
• トポロジカル極限における相関関数 $W_{\mathbf{k}}^{g}$ のスケーリング挙動を分析し、[Bor13] と類似した再帰的構造を同定する。
• トポロジカルでない項によるトポロジカル解の摂動を検討し、生成関数の極構造を変化させるソース項として扱う。
• 再帰的構造を保ちつつ、$W_{\mathbf{k},N}^{g}$ が $N$ に依存するようにすることで、完全解を留数公式の形に再定式化することを提案する。
• 結合定数をスケーリングすることで、スペクトル曲線をピンチドトーラスとして解釈し、パンクチャード・スフィアに変換する幾何的解釈を検討し、$W_{\mathbf{k}}^{s}$ を [BS15] と同様にモジュライ空間積分に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的再帰形式主義は、特に次元 $d = 4k+2$ のランダムテンソルモデルへ拡張可能か？
• RQ2 ループ方程式における位相的でない項は、極構造および相関関数の再帰的解にどのように影響を与えるか？
• RQ3 テンソルモデルにおけるループ方程式は一貫した系を形成するか？また、異なる部分ワイト代数間で独立しているか、あるいは冗長性を示すか？
• RQ4 スペクトル曲線およびリーマン面のモジュライ空間を用いた $W_{\mathbf{k}}^{s}$ 観測量の幾何的解釈は可能か？
• RQ5 グラフによって生成されるテンソル不変量は基底をなすか？また、これはループ方程式の独立性とどのように関係するか？

主な発見

• シフトされた四次メロン型テンソルモデルのループ方程式は、部分ワイト代数を形成する微分作用素を用いて、ヴァイラソロ制約に類似した形に再定式化可能である。
• ループ方程式のトポロジカル部分には、[Bor13] と類似した再帰的構造が現れ、解に対する留数公式の可能性を示唆している。
• 位相的でない項は生成関数の極構造を位相的ケースとは異なる方法で摂動させるが、再帰的パターンは保持されている。
• 次元 $d=6,10,14,\dots$ のモデルは、$O(n)$-型の二行列モデルに類似しており、トーラス型スペクトル曲線がスケーリングによってピンチドトーラスに変化する。
• ピンチド極限における結果のスペクトル曲線はパンクチャード・スフィアに分解され、リーマン曲線のモジュライ空間積分への潜在的関連性を示唆している。
• 複数の部分ワイト代数の存在は、複数のループ方程式のセットを示唆しており、それらの独立性および部分観測量の再帰的計算の可能性に関する疑問を提起している。