[論文レビュー] Random Tessellations, Restricted Isometric Embeddings, and One Bit Sensing

Dmitriy Bilyk, Michael T. Lacey|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ランダムなガウス測定を用いた1ビット圧縮センシングが、線形センシングと同等の境界を達成する制限等長性（RIP）を満たすことを確立している。1ビット写像は、スパースなベクトルの構造を線形写像と同等に保つ。$ s $-スパースな単位ベクトルに対して、$ \mathbb{S}^n $ 上で、$ m \gtrsim \delta^{-2}s\log(n/s) $ の測定値があれば、高確率でハミング立方体内に $ \delta $-RIP を達成する。

ABSTRACT

We obtain mproved bounds for one bit sensing. For instance, let $ K_s$ denote the set of $ s$-sparse unit vectors in the sphere $ \mathbb S ^{n}$ in dimension $ n+1$ with sparsity parameter $ 0 < s < n+1$ and assume that $ 0 < δ< 1$. We show that for $ m \gtrsim δ^{-2} s \log \frac ns$, the one-bit map $$ x \mapsto \bigl[ {sgn} \langle x,g_j angle \bigr] _{j=1} ^{m}, $$ where $ g_j$ are iid gaussian vectors on $ \mathbb R ^{n+1}$, with high probability has $ δ$-RIP from $ K_s$ into the $ m$-dimensional Hamming cube. These bounds match the bounds for the {linear} $ δ$-RIP given by $ x \mapsto \frac 1m[\langle x,g_j angle ] _{j=1} ^{m} $, from the sparse vectors in $ \mathbb R ^{n}$ into $ \ell ^{1}$. In other words, the one bit and linear RIPs are equally effective. There are corresponding improvements for other one-bit properties, such as the sign-product RIP property.

研究の動機と目的

• 線形センシングと同等のタイトな境界を1ビット圧縮センシングに確立すること。
• 1ビット写像が、高次元の球面上のスパースなベクトルの構造を、線形写像と同等に保つこと。
• ハミング立方体内での $ \delta $-制限等長埋め込み（RIP）に必要な測定数が、線形ケースと一致することを証明すること。
• ランダムな超平面によるスパース集合のテッセレーションを分析し、それをメトリックエントロピーとVC次元に関連させること。
• 符号積埋め込みおよび対称的差集合の均一エントロピークラスへの結果の拡張。

提案手法

• 各測定値を、$ g_j \sim \mathcal{N}(0, I_{n+1}) $ に従うランダムなガウスベクトルを用いて、内積の符号により定義する。
• 小領域の測定数を制限するため、到達時間問題のヒューリスティックを適用する。
• 細胞の直径を制御するために、メトリックエントロピー $ N(K, \delta) $ と $ \delta $-分離集合 $ M(K, \delta) $ を用いる。
• VC次元理論とサウアーの補題を用いて、スパースなベクトルに関連する対称的差集合の複雑さを制限する。
• パンチェンコの均一エントロピー境界とチェインニングの議論を用いて、$ \mathcal{W}_s $ 上での経験過程の上界を高確率で導出する。
• 経験的対称的差集合測度の期待値からの逸脱に関する高確率集中不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1ビットセンシングは、線形センシングと同等の測定複雑性で制限等長埋め込みを達成できるか？
• RQ2 球面上の $ s $-スパースなベクトルのテッセレーションにおいて、$ \delta $-小領域を保証するための1ビット測定の最小数は何か？
• RQ3 $ K_s $ のメトリックエントロピーは、小領域テッセレーションに必要なランダムな超平面の数とどのように関係するか？
• RQ4 符号線形写像は、ハミング立方体内でのスパースなベクトル間の距離をどの程度正確に保つのか？
• RQ5 対称的差集合の均一エントロピー境界を用いて、1ビットセンシングにおける経験過程の逸脱を制御できるか？

主な発見

• 集合 $ K_s $（$ \mathbb{S}^n $ 上の $ s $-スパースな単位ベクトル）に対して、高確率で $ m \gtrsim \delta^{-2}s\log(n/s) $ の測定値があれば、ハミング立方体内に $ \delta $-RIP を達成する。
• 1ビット写像 $ x \mapsto \textup{sgn}(\langle x, g_j \rangle)_{j=1}^m $ は、線形写像 $ x \mapsto \frac{1}{m}[\langle x, g_j \rangle]_{j=1}^m $ と同等の $ m $-スケーリングで $ \delta $-RIP を達成する。
• 高確率で、$ m > C\delta^{-1}\log N(K, c\delta) $ ならば、$ K \subset \mathbb{S}^n $ に誘導されるテッセレーションの各細胞の直径は $ \delta $ 以下である。
• 任意の $ x, y \in K_s $ に対して $ d(x,y) > \delta $ ならば、高確率で少なくとも $ c\delta m $ 個の測定値が符号で異なる。
• スパースなベクトルの対称的差集合のクラスには、均一エントロピー境界 $ N(\mathcal{W}_s, d_P, \delta) \lesssim \binom{n+1}{s}^2 (\delta/2)^{-12s-24} $ が成り立つ。
• 高確率での集中不等式が成立する：確率 $ 1 - 2e^{-u^2} $ 以上で、$ \sup_{d(x,y)<\eta} \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_{j=1}^m (\mathbf{1}_{W_{x,y}}(\theta_j) - d(x,y)) \lesssim \int_0^{\eta^{1/2}} \sqrt{s\log_+\frac{n}{s} + s\log_+\frac{1}{t}} dt + u\sqrt{\eta} $。