[論文レビュー] Random triangle removal

Tom Bohman, Alan Frieze+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ボロバスとエルデシュ（1990年）が提起した長年の予想を解決する。完全グラフ $K_n$ 上でのランダムな三角形除去プロセスは、高確率で $n^{3/2+o(1)}$ 条の辺を残す。著者らは自己修正型マルティングルを用いたシステムにより、主要なグラフパラメータの集中を確立し、最終的な三角形を含まないグラフが漸近的に $n^{3/2+o(1)}$ 条の辺を持つことを証明した。これは、スペンサーや他の研究者らの予測と一致する。

ABSTRACT

Starting from a complete graph on $n$ vertices, repeatedly delete the edges of a uniformly chosen triangle. This stochastic process terminates once it arrives at a triangle-free graph, and the fundamental question is to estimate the final number of edges (equivalently, the time it takes the process to finish, or how many edge-disjoint triangles are packed via the random greedy algorithm). Bollobás and Erdős (1990) conjectured that the expected final number of edges has order $n^{3/2}$, motivated by the study of the Ramsey number $R(3,t)$. An upper bound of $o(n^2)$ was shown by Spencer (1995) and independently by Rödl and Thoma (1996). Several bounds were given for variants and generalizations (e.g., Alon, Kim and Spencer (1997) and Wormald (1999)), while the best known upper bound for the original question of Bollobás and Erdős was $n^{7/4+o(1)}$ due to Grable (1997). No nontrivial lower bound was available. Here we prove that with high probability the final number of edges in random triangle removal is equal to $n^{3/2+o(1)}$, thus confirming the 3/2 exponent conjectured by Bollobás and Erdős and matching the predictions of Spencer et al. For the upper bound, for any fixed $ε>0$ we construct a family of $\exp(O(1/ε))$ graphs by gluing $O(1/ε)$ triangles sequentially in a prescribed manner, and dynamically track all homomorphisms from them, rooted at any two vertices, up to the point where $n^{3/2+ε}$ edges remain. A system of martingales establishes concentration for these random variables around their analogous means in a random graph with corresponding edge density, and a key role is played by the self-correcting nature of the process. The lower bound builds on the estimates at that very point to show that the process will typically terminate with at least $n^{3/2-o(1)}$ edges left.

研究の動機と目的

• ボロバスとエルデシュ（1990年）の予想を解決すること。すなわち、$K_n$ 上でのランダムな三角形除去プロセスが、高確率で $n^{3/2+o(1)}$ 条の辺を残すという予想である。
• プロセスの最終的な辺数について、既知の最良の上界 $n^{7/4+o(1)}$ と非自明な下界の欠如との間のギャップを埋めること。
• 自己修正型マルティングルの新規応用により、小さな根付きグラフからのホモモーフィズム数という、広範なグラフパラメータ族の集中を確立すること。
• ランダムなグリーディな三角形パッキングプロセスが、$n^{3/2+o(1)}$ 条の辺で終了することを証明し、スペンサーらが予測した $3/2$ の指数を確認すること。

提案手法

• 著者らは、$O(1/\varepsilon)$ 個の三角形を制御された方法で接合することで得られる、$\exp(O(1/\varepsilon))$ 個の小さなグラフの族を導入し、ホモモーフィズム数の追跡のためのテンプレートとして用いる。
• 頂点のペアを根とする、これらのテンプレートから進化するグラフへのホモモーフィズム数を数える確率変数 $Y_{u,v}$ を定義し、その時間的変化を動的に追跡する。
• エッジ密度が一致するエッジ・レニイのランダムグラフにおける期待値の周囲での集中を示すために、マルティングルのシステムを構築する。
• プロセスの自己修正性により、平均からのずれが強く期待値の軌道に戻すドリフトを引き起こし、複雑な依存関係にもかかわらず集中を可能にする。
• 共通の近傍数を制御し、事象の確率を制御するために共度数仮説を用い、$n^{3/2+\varepsilon}$ 条の辺が残るまでの点まで解析を実施する。
• 最終的な下界は、すべての三角形の均等なランダム順列における三角形処理の順序を用い、特に選択された集合 $\mathscr{X}_{\star}$ に属する三角形のうち、正の割合が最終的に生存することを示すことによって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全グラフから、繰り返し一様にランダムな辺素な三角形を削除し、これ以上三角形が存在しなくなるまで続けるプロセスの後、残る辺数の漸近的数は何か？
• RQ2 ボロバスとエルデシュが予想したように、ランダムなグリーディな三角形除去プロセスは、高確率で $n^{3/2+o(1)}$ 条の辺を残すか？
• RQ3 プロセスの自己修正的挙動を厳密に利用して、時間経過に伴う複雑なグラフパラメータの集中を証明することは可能か？
• RQ4 ホモモーフィズム数を用いて、プロセスの最終的な辺数の下界を得るために、そのような小さなグラフの族を構築することは可能か？
• RQ5 エッジの削除と三角形の出現の間の依存関係は、ランダムなグリーディパッキングプロセスの最終的結果にどのように影響するか？

主な発見

• ランダムな三角形除去プロセスの最終的な辺数は、高確率で $n^{3/2+o(1)}$ である。これは、ボロバスとエルデシュ（1990年）の予想を確認する。
• グレイブル（1997年）による上界 $n^{7/4+o(1)}$ が $n^{3/2+o(1)}$ に改善され、下界と一致し、指数のギャップが埋まった。
• プロセスは自己修正的ダイナミクスを示す：ホモモーフィズム数のずれは、期待値の軌道に戻す強いドリフトを引き起こし、依存関係が複雑であっても集中を可能にする。
• $\exp(O(1/\varepsilon))$ 個の小さなグラフの族がホモモーフィズム数の追跡に用いられ、それらの挙動がエッジ密度が一致するエッジ・レニイのランダムグラフにおける対応する値の周囲に集中することが示された。
• 適切に選ばれた集合 $\mathscr{X}_{\star}$ に属する三角形のうち、有利な処理順序のおかげでエッジが生存する確率の二項下界を用いて、$n^{3/2-6\varepsilon-o(1)}$ 条の辺が生存することが確立された。
• この結果は、スペンサーらの予測を確認し、ジョエル・スペンサーが $n^{3/2+o(1)}$ の境界を証明することに対して提供した200ドルの賞金を解決した。