[論文レビュー] Random Tug of War games for the ${\mathbf p}$-Laplacian: ${\mathbf{1<p<{\boldsymbol \infty}}}$

Marta Lewicka|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$1 < p < \infty$ の $p$-ラプラシアンに対して、球体上の決定的 min-max 平均と、$p$ および $N$ に依存する長軸比をもつ $N$ 次元楕円体上の確率的平均を組み合わせた、新たなノイズあり Tug of War 博奕を提案する。得られる動的計画法の原理により、連続解が得られ、それらは $\Delta_p u = 0$ のディリクレ問題の唯一の粘性解に一様収束する。これは、外部コルクスクリューコンディションを満たす領域に対して、博奕の正則性を確立する。

ABSTRACT

We propose a new finite difference approximation to the Dirichlet problem for the homogeneous $\mathbf{p}$-Laplace equation posed on an $N$-dimensional domain, in connection with the Tug of War games with noise. Our game and the related mean-value expansion that we develop, superposes the ``deterministic averages'' ``$\frac{1}{2}(\inf +\sup)$'' taken over balls, with the ``stochastic averages'' ``$\fint$'', taken over $N$-dimensional ellipsoids whose aspect ratio depends on $N,\mathbf{p}$ and whose orientations span all directions while determining $\inf / \sup$. We show that the unique solutions $u_\epsilon$ of the related dynamic programming principle are automatically continuous for continuous boundary data, and coincide with the well-defined game values. Our game has thus the min-max property: the order of supremizing the outcomes over strategies of one player and infimizing over strategies of their opponent, is immaterial. We further show that domains satisfying the exterior corkscrew condition are game regular in this context, i.e. the family $\{u_\epsilon\}_{\epsilon o 0}$ converges uniformly to the unique viscosity solution of the Dirichlet problem.

研究の動機と目的

• 均一な $p$-ラプラシアン $\Delta_p u = 0$ の有限差分近似を、新規の確率的ゲーム理論的枠組みを用いて開発すること。
• 従来のノイズあり Tug of War 博奕における正則性および可測性の欠如を解消するため、内因的連続性と明確に定義された博奕価値を持つ博奕を構築すること。
• 動的計画法の解が連続であり、博奕価値と一致することを確立し、最小最大性質が保証されることを示すこと。
• $\{u_\epsilon\}_{\epsilon \to 0}$ の解の族が、博奕正則領域におけるディリクレ問題の唯一の粘性解に一様収束することを証明すること。

提案手法

• 球体上での決定的平均 $\frac{1}{2}(\inf + \sup)$ と、$N$ 次元楕円体 $E(x, r; \alpha, \nu)$ 上での確率的平均を組み合わせた平均値展開を提案する。ここで長軸比 $\alpha_p$ は $p$ および $N$ に依存する。
• 式 (1.3) を導出し、$\gamma_p$ および $\alpha_p$ を含む重み付き平均を用いて $\Delta_p u$ を特定する。相性条件 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$ が成立する。
• コイン投げと、直前の移動に直交する高さ2の余次元の球面上に一様に分布するノイズベクトルを用いて、移動を更新する2人零和博奕を導入する。スケーリング係数は $\gamma_p = \sqrt{\frac{N-1}{p-1}}$ である。
• コルクスクリューコンディションを用いて博奕正則性を証明する。この幾何的条件を満たす領域では、博奕はほとんど確実に停止し、解は一様収束する。
• アスコリ＝アルツェラの定理および粘性解理論を適用し、$u_\epsilon$ の極限が $D$ における $\Delta_p u = 0$ の唯一の粘性解であり、$\partial D$ で $u = F$ を満たすことを同定する。
• 博奕価値が連続であり、動的計画法の解と一致することを確立し、戦略の順序に関係なく最小最大性質が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tug of War 博奕を構築することで、その価値関数が連続であり、$\Delta_p u = 0$ の有限差分スキームの解と一致するようにできるか？
• RQ2 楕円体平均とノイズを用いた提案された博奕は、最小最大性質（すなわち、戦略の順序が結果に影響しないこと）を満たすか？
• RQ3 どの領域で博奕正則性が成立するか、すなわち $\epsilon \to 0$ のとき解 $u_\epsilon$ が一様に粘性解に収束するか？
• RQ4 $\nabla u(x)$ の事前知識がなくても、平均値展開 (1.3) を導出可能か？これにより、連続関数にしかならない $p$-調和関数を特定可能か？
• RQ5 コルクスクリューコンディション下で、$u_\epsilon$ の収束が一様かつ一意的か？

主な発見

• 提案された博奕により、境界データが連続である場合、動的計画法の解 $u_\epsilon$ が連続であることが保証され、境界関数 $F$ の正則性を継承する。
• 博奕価値は適切に定義されており、解 $u_\epsilon$ と一致する。これにより、従来の定式化に見られた可測性および正則性の問題が解消される。
• 最小最大性質が成立する。プレイヤー戦略の上界と下界の順序は本質的ではなく、一貫した博奕価値が保証される。
• 外部コルクスクリューコンディションを満たす領域では、族 $\{u_\epsilon\}_{\epsilon \to 0}$ が $\Delta_p u = 0$ のディリクレ問題の唯一の粘性解に一様収束する。
• 収束は一様であり、極限は粘性解として一意に特定される。証明は、テスト関数による粘性下位および上位解の検証に依拠する。
• 相性条件 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$ により、すべての $p \in (1, \infty)$ に対して平均値展開 (1.3) の有効性が保証され、この枠組みは $p$ の全範囲に適用可能となる。