[論文レビュー] Random walk models and probabilistic techniques for inhomogeneous polymer chains

Caravenna, Francesco|ArXiv.org|Nov 22, 2005

Theoretical and Computational Physics参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、特に選択的界面におけるコポリマーを対象として、非一様ポリマー鎖をモデル化するための高度な確率的技法を、ランダムウォークフレームワークを用いて開発する。自由エネルギーの存在を確立し、再生理論を用いて分配関数の鋭い漸近的性質を導出し、正に保たれるように条件付けられたランダムウォークに対する局所極限定理を証明することで、周期的および確率的環境下でのスケーリング極限および相図解析の厳密な基礎を構築する。

ABSTRACT

Modeling of polymer chains has received a lot of attention in mathematics. In fact, probabilistic models that naturally arise in statistical mechanics have been widely studied by mathematicians for the very challenging and novel problems that they pose. The physical situation that we consider in this thesis is that of a polymer in the proximity of an interface between two selective solvents, in the case when the interaction of the monomers with the solvents and the interface may vary from monomer to monomer (inhomogeneous polymer). In interesting cases thee is a phase transition between a state in which the polymer sticks very close to the interface (localized regime) and a state in which it wanders away from it (delocalized regime). The mechanism underlying such a transition is an energy/entropy competition. Our task has been to study random walk models of polymer chains with the purpose of understanding this competition in a deep and quantitative way. Despite the fact that the definition of these models is extremely elementary, their analysis is not simple at all, and several interesting questions are still open. In this Ph.D. thesis we present new results that answer some of these questions. The analysis performed has required the application of a wide range of techniques, including large deviations, concentration inequalities, renewal theory, fluctuation theory for random walks. A numerical and statistical study has been performed too. Finally we prove a local limit theorem for random walks conditioned to stay positive.

研究の動機と目的

• 非一様ポリマー鎖、特に選択的界面におけるコポリマーを、ランダムウォークモデルを用いて厳密な確率的枠組みでモデル化すること。
• 連続的増分を有する一般コポリマー・モデルに対して自由エネルギーの存在を確立し、その熱力学的挙動を分析すること。
• ランダムコポリマーの相図およびパスの挙動を、特に局在化および脱局在化領域において調査すること。
• 再生理論およびマルコフ再生過程を用いて、周期的および確率的環境下での分配関数の鋭い漸近的性質を導出すること。
• 正に保たれるように条件付けられたランダムウォークに対する局所極限定理を証明し、自由エネルギーの粗粒度化をブラウン運動モデルに適用可能にする。

提案手法

• 周期的ポリマー・モデルの分配関数を分析するためにマルコフ再生理論を用い、局在化、臨界、脱局在化領域における正確な漸近的性質を導出する。
• ポリマー・パスのゼロ集合および異なる領域における熱力学的極限を特徴付けるために、ランダムウォークのエクストリーム視点を適用する。
• 局在化および脱局在化相におけるポリマー・パスのスケーリング極限を研究するために、局在化の議論および弱収束の技法を用いる。
• 非一様鎖の統計的挙動、特にレアなストレッチが存在する場合に良好に捉えるために、新しい分配関数の定式化を導入する。
• フラクチュエーション理論およびラッダ変数解析を用いて再生測度に関する漸近的結果を導出し、局所極限定理の証明に不可欠な要素を明らかにする。
• 一様連続関数および分布関数の一様連続性を用いた近似技法により、臨界領域における測度の弱収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的増分を有する一般コポリマー・モデルの自由エネルギーは、熱力学的極限においてどのように振る舞い、存在するのか？
• RQ2 周期的および確率的環境下で、局在化、臨界、脱局在化領域における分配関数の正確な漸近的性質は何か？
• RQ3 脱局在化相におけるポリマー・パスの挙動はどのように振る舞い、数値解析は理論的予想を確認できるか？
• RQ4 臨界領域におけるポリマー・パスのスケーリング極限は何か？ブラウン運動とどのように関係するか？
• RQ5 正に保たれるように条件付けられたランダムウォークに対して局所極限定理を確立できるか？そのモデルの粗粒度化に与える影響は何か？

主な発見

• 連続的増分を有する一般コポリマー・モデルに対して、自由エネルギーは存在し、明確に定義されている。これは、分配関数の収束を含む3段階の証明によって確立された。
• 分配関数の鋭い漸近的性質が導出された：厳密に脱局在化領域（$ ilde{ ho}^ heta < 1$）では指数的減少、臨界領域（$ ilde{ ho}^ heta = 1$）では多項式的減少、局在化領域（$ ilde{ ho}^ heta > 1$）では指数的増加。
• 臨界領域（$ ilde{ ho}^ heta = 1$）では、ポリマー・パスのゼロ集合が弱収束し、極限測度に収束する。また、スケーリング極限はブラウンの拡散と特定される。
• 正に保たれるように条件付けられたランダムウォークに対する局所極限定理が厳密に証明され、適切な正規化のもとで、時刻$n$におけるウォークの密度が安定な密度に収束することが示された。
• 数値解析により、脱局在化相における期待されるパスの挙動が確認され、局在化および脱局在化領域を分ける臨界曲線の存在が裏付けられた。
• 臨界領域における一様収束の証明は、等連続性および測度の一様連続性に依拠しており、空間パラメータ$x$に関して、測度$ u_n$から$ u$への弱収束が一様であることが保証された。