[論文レビュー] Random walk on discrete point processes

Ron Rosenthal|arXiv (Cornell University)|May 9, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℤ^d のランダム部分集合上で、ランダム環境内での座標近隣にのみ遷移する対称的ランダムウォークを研究する。このウォークはほとんど確実にゼロ速度であることを証明し、異なる次元における再帰性／非再帰性の基準を確立し、隣接点間の距離に関するモーメント条件の下でクエンチド関数中心極限定理を証明する。

ABSTRACT

We consider a model for random walks on random environments (RWRE) with random subset of the d-dimensional Euclidean lattice as the vertices, and uniform transition probabilities on 2d points (two "coordinate nearest points" in each of the d coordinate directions). We prove that the velocity of such random walks is almost surely 0, and give partial characterization of transience and recurrence for the different dimensions. Finally we prove Central Limit Theorem for such random walks, under a condition on the distance between nearest coordinate nearest points.

研究の動機と目的

• 座標近隣への遷移に制限された ℤ^d のランダム部分集合上での対称的ランダムウォークの大規模な挙動を分析すること。
• このようなウォークが非ゼロ拡散（正の速度）を示すか、あるいはさまざまな次元においてほとんど確実に非再帰的／再帰的であるかを特定すること。
• ウォークに対してクエンチド関数中心極限定理が成り立つ条件を確立すること。
• 中心極限定理が成り立つために必要な点間距離のモーメント条件の必要性と十分性を調査すること。

提案手法

• 原点が占有されている条件の下で、i.i.d. または定常・混合的なサイト占有のランダム環境 ω ∈ {0,1}^ℤ^d を定義する。
• ランダム点過程 P(ω) 上に、座標方向の2d個の近隣への均一な遷移確率を持つクエンチドマルコフ連鎖を構築する。
• ビrkhoffのエルゴード定理を用いて、環境測度の下で各サイトがすべての方向にほとんど確実に無限個の近隣を持つことを示す。
• スペクトルギャップおよび補正子（corrector）法を用いて、隣接点間の距離の (2+ε₀) 階モーメント条件の下でクエンチド関数中心極限定理を証明する。
• d次元における幾何学的および解析的推定に基づいて、CLTの証明における重要な項を抑え込むために、指数和を含む補助不等式を用いる。
• モーメント条件の必要性に関する予想を提示し、非一様遷移確率への一般化の可能性を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標近隣への遷移に制限された ℤ^d のランダム部分集合上でのランダムウォークは、ほとんど確実に非ゼロ速度を持つだろうか？
• RQ2 どのような条件下で、このウォークは異なる次元において再帰的または非再帰的となるだろうか？
• RQ3 このようなウォークに対してクエンチド関数中心極限定理は成り立つだろうか？ また、どのようなモーメント条件が必要だろうか？
• RQ4 有限第二モーメントのみを仮定した場合でも、CLT を確立できるだろうか？
• RQ5 有限 (2+ε) モーメントが存在しない例であっても、CLT を満たすウォークは存在するだろうか？

主な発見

• ランダム環境の非一様性のため、次元にかかわらず、ランダムウォークの速度はほとんど確実にゼロである。
• 与えられた仮定の下で、d ≥ 3 ではウォークは非再帰的であり、d = 1, 2 では再帰的である。
• 座標近隣間の距離の (2+ε₀) 階モーメントが有限である限り、クエンチド関数中心極限定理が成り立つ。
• CLT は補正子法により証明され、ウォークがブラウン運動に収束するように補正する調和関数の存在に依存する。
• 証明では補助不等式 ∑_{n=0}^∞ e^{-a·2ⁿ} ≤ c a^{-d} を用いる。ここで c = c(d) > 0 であり、0 < a ≤ 2 である。
• 予想では、CLT がより弱いモーメント条件のもとでも成り立つ可能性があり、適切なスケーリングの下でウォークがブラウン運動に収束する可能性が示唆されている。