[論文レビュー] Random walks and exclusion processes among random conductances on random infinite clusters: homogenization and hydrodynamic limit

Alessandra Faggionato|ArXiv.org|Apr 23, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 2$ における超臨界的なベルヌーイ確率場における無限クラスタ上でのランダムウォークおよび排除過程の均質化を確立する。2スケール収束とエルゴード性を活用することで、導出される流体力学的極限が、一様な下界がない場合でも、決定論的で非楕円型の拡散行列を持つ熱方程式に収束することを証明する。

ABSTRACT

We consider a stationary and ergodic random field {ω(b)} parameterized by the family of bonds b in Z^d, d>1. The random variable ω(b) is thought of as the conductance of bond b and it ranges in a finite interval [0,c_0]. Assuming that the set of bonds with positive conductance has a unique infinite cluster C, we prove homogenization results for the random walk among random conductances on C. As a byproduct, applying the general criterion of \cite{F} leading to the hydrodynamic limit of exclusion processes with bond-dependent transition rates, for almost all realizations of the environment we prove the hydrodynamic limit of simple exclusion processes among random conductances on C. The hydrodynamic equation is given by a heat equation whose diffusion matrix does not depend on the environment. We do not require any ellipticity condition. As special case, C can be the infinite cluster of supercritical Bernoulli bond percolation.

研究の動機と目的

• 超臨界的なランダム導電率モデルの無限クラスタ上での連続時間ランダムウォークの均質化を確立すること。
• 同じランダムクラスタ上での結合依存遷移確率を有する単純排除過程の流体力学的極限を証明すること。
• 極限の流体力学的方程式が、確率的環境に依存しない決定論的熱方程式であり、拡散行列が環境に依存しないことの証明。
• 均質化および流体力学的極限の結果において、楕円性（導電率の正の下界）の仮定を不要にすること。
• 超臨界的な確率場条件 $p > p_c$ の下で、導電率がゼロから離れていない場合でも、拡散行列が正定値であることを示すこと。

提案手法

• 無限クラスタ $\mathcal{C}(\omega)$ 上でのランダムウォーク生成子の均質化を分析するため、2スケール収束を用いる。
• 一般基準 [F] を適用し、ランダムウォークの均質化から排除過程の流体力学的極限を導出する。
• 生成子 $\mathbb{L}\eta_x$ が占有変数 $\eta_x$ に関して線形であること（粒子数保存則による簡略化）に依存する。
• 排除過程の生成子が $\mathbb{L}f(\eta) = \sum_{b \in \mathcal{E}} \omega(b) (f(\eta^b) - f(\eta))$ と表現でき、$\mathcal{C}(\omega)$ 上のランダムウォークと関連することを用いる。
• 補正済み経験測度法または [F] の一般枠組みを用いて、流体力学的極限問題を均質化問題に還元する。
• エルゴード性と $\mathbb{Z}^d$-平行移動不変性を用いて分析を簡略化し、[ZP] のようにパーム測度を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合依存遷移確率を有する排除過程の流体力学的極限が、楕円性を仮定しないランダム無限クラスタ上でも確立可能か？
• RQ2 導電率がゼロから離れていない場合でも、極限の流体力学的方程式が決定論的拡散行列を保持するか？
• RQ3 極限熱方程式の拡散行列は、下伏する確率的導電率場にどのように依存するか？
• RQ4 超臨界的な確率場条件 $p > p_c$ の下で、拡散行列が正定値か？
• RQ5 環境依存の遷移確率を有する非勾配型排除過程へ、均質化結果を拡張可能か？

主な発見

• 無限クラスタ $\mathcal{C}(\omega)$ 上での排除過程の流体力学的極限は、導電率場の実現に依存しない決定論的熱方程式で与えられ、その拡散行列は環境に依存しない。
• 導電率が正の定数から下界されない場合でも、$p > p_c$ の下で拡散行列は正定値である。
• 楕円性条件（導電率の正の下界）を仮定しないで、均質化結果が成立する。これは、従来の結果に対する顕著な一般化である。
• 拡散行列が正定値であることは、抵抗ネットワークの有効導電率と関連づけることで示され、$p > p_c$ の下で確率的連結性理論により正の性質が保証される。
• 結果は、$\mathcal{C}(\omega)$ が無限クラスタである超臨界的なベルヌーイ結合確率場モデルに適用可能であり、一意な無限クラスタを持つ一般の定常・エルゴードな導電率場へも拡張可能である。
• 主な技術的ステップは、流体力学的極限をランダムウォークの均質化問題に還元することであり、その後、2スケール収束と拡散行列の変分的特徴付けにより解決される。