[論文レビュー] Random walks and isoperimetric profiles under moment conditions

Laurent Saloff‐Coste, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、moment条件の下で、有限生成群上の対称的ランダムウォークの帰還確率に関する鋭い上限を、等周的プロファイルと弱-moment技法を用いて確立する。帰還確率の減衰率を特徴付けるために、不変量 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ と $\Phi_{G,\rho}$ を導入し、多項式的体積成長を示す群に対して、$L^2$-減衰が、momentの次数 $\alpha$ に応じてべき則的または対数的挙動を示すことを証明した。$\alpha < p$ の場合、明確な漸近的同値 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$ が成り立つ。

ABSTRACT

Let $G$ be a finitely generated group equipped with a finite symmetric generating set and the associated word length function $|\cdot |$. We study the behavior of the probability of return for random walks driven by symmetric measures $μ$ that are such that $\sum ρ(|x|)μ(x)0$. For this purpose we develop new relations between the isoperimetric profiles associated with different symmetric probability measures. These techniques allow us to obtain a sharp $L^2$-version of Erschler's inequality concerning the Følner functions of wreath products. Examples and assorted applications are included.

研究の動機と目的

• 有限生成群上の対称的測度の畳み込み累乗の $L^2$-ノルムの減衰率を、moment条件の下で特徴付けること。
• 異なる対称的測度に関連する等周的プロファイルの間の新しい関係を構築し、ランダムウォーク行動の比較を可能にすること。
• momentに基づく不変量を用いて、Wreath積におけるFølner関数に対するErschlerの不等式の鋭い $L^2$-版を確立すること。
• 正規化またはゆっくり変化するmomentを持つ測度について、スペクトルギャップおよび等周的プロファイルの正確な漸近的挙動を分析すること。
• moment制約の下で、$\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ と $\Phi_{G,\rho}$ を準等長不変量として導入することで、既存の帰還確率の界を統一的かつ精錬すること。

提案手法

• $\Phi_{G,\rho}(n)$ と $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}(n)$ を、有限 $\rho$-モーメントまたは弱-$\rho$-モーメントを持つ対称的測度について、$\phi^{(2n)}(e)$ の下界として定義する。
• decay率の比較に $\simeq$ の同値関係を用い、$\rho(s) = (1+s)^\alpha$ または $\rho(s) = (1+\log(1+s))^\epsilon$ のような関数に焦点を当てる。
• アーベル和分を用いた重要な不等式を確立：$\phi_\alpha(x) \asymp (1+|x|)^{-\alpha-D}$ は、べき則的尾部を持つ測度 $\phi_\alpha$ に対して成り立つ。
• 半径 $s'$ の球を用いたパス分解の議論により、$f(xy)-f(x)$ の $L^p$-ノルムを評価し、不等式 $\|f - f * \mathbf{u}_r\|_p^p \lesssim Q_{p,\alpha}(r) \sum |f(xy)-f(x)|^p \phi_\alpha(z)$ を導出する。
• スケールパラメータの最適化を用いて、スペクトルギャップ $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v)$ の漸近的挙動を導出する。$\Lambda_{1,\phi_1}(v) \lesssim v^{-1/D}\log(e+v)$ が成り立つ。
• $L^p$-ノルム比較および等周的技法を用いて、$\alpha < p$ の場合に $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$、$\alpha = p$ の場合に $v^{-p/D}\log(e+v)$、$\alpha > p$ の場合に $v^{-p/D}$ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的測度にmoment条件が課された場合、$L^2$-ノルムの畳み込み累乗 $\phi^{(2n)}(e)$ の減衰率にどのような影響を与えるか？
• RQ2 測度 $\phi_\alpha$ に対して $\rho(|x|) = (1+|x|)^\alpha$ が成り立つとき、スペクトルギャップ $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 2次モーメントが無限大である場合に、弱-moment版 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ を用いて帰還確率に鋭い界を得られるか？
• RQ4 moment制約の下で、異なる対称的測度の等周的プロファイルはどのように関係し合うか？どのような不変量が出現するか？
• RQ5 moment条件の下で、Wreath積におけるFølner関数に対するErschlerの不等式の鋭い $L^2$-版は何か？

主な発見

• 体積成長度 $D$ を示す群に対して、スペクトルギャップは $\alpha < p$ の場合に $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$ を満たし、これはモーメント次数 $\alpha$ が減衰に与える影響を反映している。
• $\alpha = p$ の場合、スペクトルギャップは $\Lambda_{p,\phi_p}(v) \simeq v^{-p/D}\log(e+v)$ と振る舞い、臨界的モーメント次数に起因する対数的補正が現れる。
• $\alpha > p$ の場合、減衰は $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-p/D}$ となる。これは、$L^p$-臨界レートを超えて高次のモーメントがスペクトルギャップを改善しないことを示している。
• 不変量 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ は、弱-$\rho$-モーメント条件の下で帰還確率に対する鋭い下界を提供し、多くの状況で $\Phi_{G,\rho}$ より自然である。
• 不等式 $\|f - f * \mathbf{u}_r\|_p^p \lesssim Q_{p,\alpha}(r) \sum |f(xy)-f(x)|^p \phi_\alpha(z)$ は、$Q_{p,\alpha}(r)$ が定義されたまま成り立ち、$L^p$-ノルムの精密な制御を可能にする。
• Wreath積におけるFølner関数に対するErschlerの不等式の $L^2$-版は、$\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ フレームワークを用いて鋭くされ、moment条件から明示的な減衰率が導出された。