[論文レビュー] Random walks in random environment on trees and multiplicative chaos

Mikhail Menshikov, Dimitri Petritis|ArXiv.org|Dec 11, 2001

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正則で根付きの彩色付き木上の確率的環境におけるランダムウォークを研究し、環境行列の幾何的性質を用いて再帰性／非再帰性の基準を確立する。ランダムウォークと乗法的カオス過程との深い関係を示し、ウォークの臨界的挙動が関連するカオスマルティンググレ問題における非自明解の存在に対応することを示している。

ABSTRACT

We study random walks in a random environment on a regular, rooted, coloured tree. The asymptotic behaviour of the walks is classified for ergodicity/transience in terms of the geometric properties of the matrix describing the random environment. A related problem, with only one type of vertices and quite stringent conditions on the transition probabilities but on general trees has been considered previously in the literature LyoPem. In the presentation we give here, we restrict the study of the process on a regular graph instead of the irregular graph used in LyoPem. The close connection between various problems on random walks in random environment and the so called multiplicative chaos martingale is underlined by showing that the classification of the random walk problem can be drawn by the corresponding classification for the multiplicative chaos, at least for those situations where both problems have been solved by independent methods. The chaos counterpart of the problem we considered here has not yet been solved. The results we obtain for the random walk problem localise the position of the critical point. We conjecture that the additional conditions needed for the chaos problem to have non trivial solutions will be the same as the ones needed for the random walk to be null recurrent.

研究の動機と目的

• 正則で根付きの彩色付き木上の確率的環境におけるランダムウォークの漸近的挙動（再帰性／非再帰性）を分類すること。
• ランダムウォークの再帰性／非再帰性と、関連する乗法的カオス問題における非自明解の存在との間の厳密な対応関係を確立すること。
• 環境行列の固有値特性を分析することにより、ランダムウォークモデルにおける零再帰の臨界点を同定すること。
• 乗法的カオス理論の道具を用いて、既知のランダムウォークの結果をより広いクラスの確率的環境に拡張すること。
• 乗法的カオス問題における非自明解の存在条件が、ランダムウォークモデルにおける零再帰の条件と一致するという予想を立てる。

提案手法

• 木を、d文字のアルファベット上の有限列でインデックス付けされた根付きで正則な彩色付きグラフとしてモデル化し、頂点をその家系的由来でインデックス化する。
• エッジ環境を、独立で同一分布とは限らないi.i.d.確率変数 $\xi_a$ の集合として定義する。
• パス $u$ から $v$ に沿った環境値の積を表す、乗法的カオス過程 $Y_n(u) = \sum_{v > u, |v| = n + |u|} \xi[u;v]$ を導入する。
• 生成関数 $f(\beta) = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^d \eta_i^\beta]$ 及びそのLegendre変換 $g(\beta)$ を用いて、$Y_n^{(\beta)} = \sum_{v \in \mathbb{V}_n} \xi^\beta[v]$ の成長率を分析する。
• 部分加法性および大数の法則を適用し、$\beta < \beta_0$ に対して $\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$ がほとんど確実に成り立つことを示す。ここで $\beta_0$ は $g$ のグラフが接線に接する点である。
• 変換されたマルティングレ $\hat{Y}_n = \sum_{v \in \mathbb{V}_n} \frac{\xi^\beta[v]}{f(\beta)^n}$ の一様可積分性を用いて、正の極限への収束を導出し、$\lambda > 1$ のとき非再帰性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境行列のどのような条件下で、正則な木上のランダムウォークが再帰的または非再帰的になるか。
• RQ2 ランダムウォーク問題における零再帰の臨界点は、乗法的カオス問題における非自明解の存在とどのように関係しているか。
• RQ3 関連する乗法的カオスマルティングレの挙動から、ランダムウォークの再帰性／非再帰性の分類を導くことができるか。
• RQ4 モーメント行列 $\mathbf{m}(x)$ の最大固有値が、ランダムウォークおよびカオス問題における相転移を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 乗法的カオス過程 $Y_n$ が非退化限界に収束する条件は何か。また、その条件はランダムウォークの非再帰性とどのように関係するか。

主な発見

• ランダムウォークは、モーメント行列 $\mathbf{m}(1)$ の最大固有値 $\lambda$ が $\lambda > 1$ のとき非再帰的であり、これは関連するマルティングレの一様可積分性によって確立される。
• $\beta < \beta_0$ のとき、正規化されたカオス過程 $\hat{Y}_n$ は $\mathcal{L}^1$ で正の極限に収束し、$\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$ がほとんど確実に成り立つ。
• $\lambda = 1$ のとき、ウォークは零再帰的であり、これはカオスマルティングレが非自明な極限に収束する臨界ケースに対応する。
• $\beta > \beta_0$ のとき、関数 $\sigma(\beta) = \liminf \frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)}$ は $\sigma(\beta) > 0$ を満たし、$Y_n \to \infty$ が指数関数的に成り立つことを示し、これによりウォークの非再帰性が導かれる。
• 臨界点 $\beta_0$ は、$g(\beta)$ のグラフが $\beta_0 > x_0$ で接線に接する条件で特徴づけられ、$g'(\beta_0) > 0$ である。
• 著者らは、乗法的カオス問題における非自明解の存在に必要な条件が、ランダムウォークモデルにおける零再帰の条件と同一であると予想している。