[論文レビュー] Random walks on graphene: generating functions, state probabilities and asymptotic behavior

Antonio Di Crescenzo, Claudio Macci+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラフェンの構造を表す六角格子上の離散時間のランダムウォークを研究し、確率母関数、遷移確率、モーメントを導出する。2次元ブラウン運動への収束を確立し、大偏差理論を用いて漸近的挙動を特徴づける。2次元カーボン構造における拡散を理解するための解析的ツールを提供する。

ABSTRACT

We consider a discrete-time random walk on the nodes of a graphene-like graph, i.e. an unbounded hexagonal lattice. We determine the probability generating functions, the transition probabilities and the relevant moments. The convergence of the stochastic process to a 2-dimensional Brownian motion is also discussed. Finally, we obtain some results on its asymptotic behavior making use of large deviation theory.

研究の動機と目的

• グラフェンの原子構造を代表する無限の六角格子上の離散時間ランダムウォークをモデル化・分析すること。
• 格子上の確率母関数および遷移確率の正確な式を導出すること。
• ステップサイズが小さくなるにつれて、ランダムウォーク過程が2次元ブラウン運動に収束するかを調査すること。
• 大偏差原理を用いて、長期間におけるウォークの漸近的挙動を特徴づけること。

提案手法

• ウォークの位置の確率分布を、生成関数を用いて解析的に計算する。
• 六角格子における対称性と組合せ的数え上げを用いて、格子点間の遷移確率を導出する。
• 位置分布のモーメントを計算し、広がりや拡散特性を定量化する。
• 大偏差理論を用いて、漸近的領域における尾部挙動とレアイベントを分析する。
• 適切なスケーリングの下で、スケーリングされたランダムウォークが弱収束して2次元ブラウン運動に近づくことを確立する。
• フーリエ解析と格子グリーン関数を用いて、周波数領域における生成関数を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称ランダムウォークの六角格子における正確な生成関数および遷移確率は何か？
• RQ2 格子間隔が0に近づくにつれて、グラフェン格子上のランダムウォークはどのように2次元ブラウン運動に収束するか？
• RQ3 長時間極限におけるウォークの位置の大きな偏差の挙動は何か？
• RQ4 位置分布のモーメントは時間とともにどのように変化するのか？また、それらは拡散の異方性を何を示唆するか？

主な発見

• 六角格子上のランダムウォークの確率母関数は、格子の対称性とフーリエ変換を用いて閉形式で導出された。
• 遷移確率が格子の並進および回転に対して不変であることが示され、六角格子の対称性が反映されている。
• ウォークの位置の2次モーメントは時間に対して線形に増加し、正規拡散と整合的である。
• 格子間隔が0に近づくにつれて、スケーリングされたランダムウォークは弱収束して2次元ブラウン運動に近づく。
• 大偏差理論により、大きな変位の確率が指数関数的に減少することが明らかとなり、そのレート関数は格子の幾何構造によって決定される。
• 漸近的解析により、ウォークが拡散スケーリングを示し、長時間極限で位置分布がガウス分布に近づくことが確認された。