[論文レビュー] Random walks with unbounded jumps among random conductances II: Conditional quenched CLT

Christophe Gallesco, Serguei Popov|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、i.i.d. なランダムコンダクタンスの下で無限大のジャンプをもつ1次元の無作為歩行について、正であるまでに時間 $n$ までに留まるという条件のもとで、スケーリングされた軌道が環境に対してほとんど確実にブラウン運動のミアンダーに収束することを示す、クエンチド条件付き不変性原理を確立する。この結果は、一様クエンチド不変性原理を条件付き経路へと拡張し、到達時間および通過時間の分析を通じて3次元のベッセル過程と関連付ける。

ABSTRACT

We study a one-dimensional random walk among random conductances, with unbounded jumps. Assuming the ergodicity of the collection of conductances and a few other technical conditions (uniform ellipticity and polynomial bounds on the tails of the jumps) we prove a quenched conditional invariance principle for the random walk, under the condition that it remains positive until time $n$. As a corollary of this result, we study the effect of conditioning the random walk to exceed level $n$ before returning to 0 as $n o \infty$.

研究の動機と目的

• 1次元の無作為歩行が無限大のジャンプをもつ場合、ランダムコンダクタンス環境においてクエンチド条件付き不変性原理を確立すること。
• 時間 $n \to \infty$ のとき、正であるとされるまでに歩行の極限的挙動を分析すること。
• 先行研究における一様クエンチド不変性原理を、経路の条件付き化のケースにまで拡張すること。
• 到達時間および通過時間の分析を通じて、クエンチド条件付き分布をブラウン運動のミアンダーおよび3次元ベッセル過程と関連付けること。

提案手法

• 環境 $\omega$ に対して定義されたクエンチド条件付き確率測度 $Q_{\omega}^n$ を用いる。ここで $Q_{\omega}^n = \mathbb{P}_\omega[\cdot \mid \Lambda_n]$ であり、$\Lambda_n = \{X_k > 0 \text{ for all } k=1,\dots,n\}$ である。
• 歩行のスケーリングとして $Z^n(t) = \sigma^{-1} n^{-1/2} X_{\lfloor nt \rfloor}$ を用い、多角形補間により $[0,1]$ 上の連続過程を定義する。
• 収束速度およびタイトネスの制御に、[15] における一様クエンチド不変性原理を主要な道具として用いる。
• ブラウン運動のスケーリング性およびブラウン運動のミアンダーの遷移密度を用いて、到達時間および通過時間の分析を行う。
• 最初の通過時間およびミアンダーの最大値の極限過程として3次元ベッセル過程を用いる。
• クエンチド測度の下で、有限次元分布の収束およびタイトネスの議論を用いて、ミアンダーにおける関数極限定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大のジャンプをもつ1次元の無作為歩行が、i.i.d. なランダムコンダクタンスの下で、正であるとされる条件のもとで、スケーリングされた軌道がクエンチド測度のもとでブラウン運動のミアンダーに収束するか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、歩行が0に戻る前にレベル $n$ を超過するように条件づけられたクエンチド分布の極限的挙動は何か？
• RQ3 クエンチド不変性原理は、特に正の制約のもとで、条件付き分布へとどのように拡張されるか？
• RQ4 エルゴード性およびモーメント条件を満たす環境の全範囲にわたって、一様な推定が得られる形でブラウン運動のミアンダーへの収束を確立できるか？

主な発見

• ほとんどすべての環境に対して、スケーリングされた歩行 $Z^n$ のクエンチド条件付き分布は、空間 $C[0,1]$ 上で弱収束し、ブラウン運動のミアンダー $W^+$ に収束する。
• 歩行が時間 $n$ まで正であるという条件のもとで収束が成立し、極限過程はブラウン運動のミアンダーであり、これは正にとどまるように条件づけられたブラウン運動に対応する。
• 0に戻る前のレベル $n$ への到達時間の極限分布は、3次元ベッセル過程に関連しており、最初の通過時間の分布はミアンダーのそれと一致する。
• 収束は一様である。具体的には、先行研究 [15] で示されたように、原点の近傍の初期位置にわたる収束速度が一様に制御されている。
• 歩行が時間 $n$ まで正である確率は $n^{-1/2}$ のオーダーで減少し、ミアンダーの漸近的挙動と整合的である。
• 証明は、タイトネスおよび有限次元分布の収束に依拠しており、主なステップは3次元ベッセル過程を用いたクエンチド抜出し確率および到達時間確率の制御である。