[論文レビュー] Randomised Buffer Management with Bounded Delay against Adaptive Adversary

Łukasz Jeż|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Optimization and Search Problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バッファ管理問題における限定遅延の文脈で、RMixアルゴリズムが適応的オンライン敵対者に対して $\frac{e}{e-1}$-competitive であるという新しい証明を提供する。先行研究におけるギャップを解消し、敵対者がアルゴリズムの確率的選択に応じて戦略を適応させることを許容するより一般的なモデルへと有効性を拡張している。

ABSTRACT

We study the Buffer Management with Bounded Delay problem, introduced by Kesselman et al. [4], or, in the standard scheduling terminology, the problem of online scheduling of unit jobs to maximise weighted throughput. The adaptive-online adversary model for this problem has recently been studied by Bienkowski et al. [2], who proved a lower bound of 4 3 on the competitive ratio and provided a matching upper bound for 2-bounded sequences. In particular, the authors of [2] claim that the algorithm RMix [3] is e e−1 -competitive against an adaptive-online adversary. However, the original proof of Chin et al. [3] holds only in the oblivious adversary model. The reason is as follows. First, the potential function used in the proof depends on the adversary’s future schedule, and second, it assumes that the adversary follows the earliest-deadline-first policy. Both of these cannot be assumed in adaptive-online adversary model, as the whole schedule of such adversary depends on the random choices of the algorithm. We give an alternative proof that RMix indeed is e e−1 -competitive against an adaptive-online adversary. Similar claim about RMix was made in another paper by Bienkowski et al. [1] studying a slightly more general problem. It assumes that the algorithm does not know exact deadlines of the packets, and instead knows only the order of their expirations. However, any prefix of the deadline-ordered sequence of packets can expire in every step. The new proof that we provide holds even in this more general model, as both the algorithm and its analysis rely only on the relative order of packets’ deadlines.

研究の動機と目的

• 適応的オンライン敵対者モデル下でのRMixの競合分析におけるギャップを埋めること。ここでは、先行の証明が不適切な仮定に依存していた。
• 敵対者がアルゴリズムの確率的意思決定に適応する場合でも、RMixが $\frac{e}{e-1}$-competitive であることを確立すること。
• アルゴリズムがパケットのデッドラインの相対的順序しか知らない、より一般化されたモデルへの分析を拡張すること。
• 敵対者が最短デッドライン優先に従うと仮定しない証明を提供すること。これは適応的オンライン条件では不適切である。
• Bienkowskiら[1]および[2]でなされた、RMixが適応的環境下で $\frac{e}{e-1}$-competitive であるという主張を正当化すること。これは、元の証明が不完全であったにもかかわらずである。

提案手法

• 敵対者の将来のスケジュールに依存しないポテンシャル関数を用いて、RMixの競合分析を再構築する。
• 敵対者の戦略がアルゴリズムの確率的選択に依存する適応的オンライン敵対者行動に対しても有効な証明技法を設計する。
• 分析を、デッドラインの正確な値ではなく相対的順序に依存させることで、部分情報モデルへの一般化を実現する。
• ポテンシャル関数を敵対者の方針に依存しないように適応させ、敵対者が最短デッドライン優先に従うという仮定を排除する。
• RMixアルゴリズムの確率的選択プロセスの構造を活用し、敵対者の予測可能性を仮定せずに期待競合比を限定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的オンライン敵対者モデル下でも、RMixの $\frac{e}{e-1}$-competitive 性能を厳密に証明できるか？
• RQ2 Chinらの元の証明は、敵対者がアルゴリズムの確率的選択に適応する場合に成り立つか？
• RQ3 デッドラインの正確な値ではなく順序のみが分かっている場合に、競合比の結果を拡張できるか？
• RQ4 敵対者のスケジュールがアルゴリズムのランダムネスに依存する場合、先行証明で用いられたポテンシャル関数は有効か？
• RQ5 敵対者の方針に関する仮定を避けつつ、$\frac{e}{e-1}$ 結果を保持する新しい証明を構築できるか？

主な発見

• Chinらの元の証明は、適応的オンライン敵対者モデル下では無効である。これは敵対者の将来の行動に依存していたためである。
• 適応的オンライン敵対者に対してRMixが $\frac{e}{e-1}$-competitive であることを示す新しい証明が提供され、文献における基盤的ギャップが是正された。
• 新しい証明は、パケットのデッドラインの相対的順序しか知らないというより一般的なモデルに対しても有効である。
• 分析は敵対者が最短デッドライン優先に従うと仮定しないため、適応的スケジューリング戦略に対しても頑健である。
• この結果は、Bienkowskiら[1]および[2]でなされた主張を確認・拡張し、現実的な適応的環境下でのRMixの性能を正当化する。