[論文レビュー] Randomized Approach to Nonlinear Inversion Combining Simultaneous Random and Optimized Sources and Detectors

Selin Aslan, Eric de Sturler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、非線形逆問題における散乱光トモグラフィー（DOT）の計算コストを低減するため、大規模な偏微分方程式（PDE）の解法回数を削減することで、ハイブリッドなランダム化と最適化手法を提案する。ランダムな同時光源・検出器と、ヤコビ行列の感度を最大化する最適化されたものとを組み合わせることで、完全データの逆問題と同等の解像度を達成しながら、PDEの解法回数を12倍まで削減し、収束性と効率性を顕著に向上させる。

ABSTRACT

In partial differential equations-based (PDE-based) inverse problems with many measurements, many large-scale discretized PDEs must be solved for each evaluation of the misfit or objective function. In the nonlinear case, evaluating the Jacobian requires solving an additional set of systems. This leads to a tremendous computational cost, and this is by far the dominant cost for these problems. Several authors have proposed randomization and stochastic programming techniques to drastically reduce the number of system solves by estimating the objective function using only a few appropriately chosen random linear combinations of the sources. While some have reported good solution quality at a greatly reduced cost, for our problem of interest, diffuse optical tomography, the approach often does not lead to sufficiently accurate solutions. We propose two improvements. First, to efficiently exploit Newton-type methods, we modify the stochastic estimates to include random linear combinations of detectors, drastically reducing the number of adjoint solves. Second, after solving to a modest tolerance, we compute a few simultaneous sources and detectors that maximize the Frobenius norm of the sampled Jacobian to improve the rate of convergence and obtain more accurate solutions. We complement these optimized simultaneous sources and detectors by random simultaneous sources and detectors constrained to a complementary subspace. Our approach leads to solutions of the same quality as obtained using all sources and detectors but at a greatly reduced computational cost, as the number of large-scale linear systems to be solved is significantly reduced.

研究の動機と目的

• 数千の光源と検出器を有するDOTにおいて、非線形逆問題の解法に伴う大規模PDEの解法回数が膨大になるという計算コストの問題に対処すること。
• DOT応用において、ランダムな同時光源・検出器を用いた標準的な確率的近似（SAA）法が収束性と精度に劣るために生じる問題を克服すること。
• ランダム化された検出器の組み合わせにより、アドジョイント解法の回数を削減することで、ニュートン型手法の効率性と精度を向上させること。
• ヤコビ行列の主要成分を捉えるために、最適化された同時光源・検出器を導入することで、解の品質と収束速度を向上させること。
• 精度を維持しながら計算負荷を最小限に抑えるために、ランダムと最適化された光源・検出器を統合した堅牢で低コストなフレームワークを開発すること。

提案手法

• サンプル平均近似（SAA）法を用い、光源と検出器のランダムな線形結合により目的関数と勾配を推定する。
• SAAをアドジョイント解法フェーズに拡張し、検出器の組み合わせをランダム化することで、ヤコビ行列評価毎に必要なアドジョイント系の数を著しく削減する。
• 初期段階でランダムな光源・検出器を用いた最適化の後、サンプルヤコビ行列のフロベニウスノルムを最大化する少数の最適化された同時光源・検出器を計算する。
• 冗長性を避けるために、最適化された光源・検出器を補空間に制約することで、感度の捕捉を向上させる。
• 探索と活用の両方をバランスさせるため、ランダムと最適化された光源・検出器を統合したフレームワークを単一の枠組みとして構築する。
• 非線形最小二乗問題を効率的に解くために、TREGS信頼領域アルゴリズムをガウス・ニュートン正則化と組み合わせて用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光源と検出器の両方をランダム化することで、DOTの逆問題におけるPDEの解法回数を削減しつつ、解の品質を損なわずに済ませられるか？
• RQ2 なぜ標準的なSAA法（ランダムな光源・検出器を用いる）はDOTにおいてノイズレベルに収束しなく、その停滞状態はどのように克服できるか？
• RQ3 ヤコビ行列の感度を最大化する最適化された同時光源・検出器は、非線形逆問題における収束性と精度を向上させられるか？
• RQ4 計算コストを最小限に抑えつつ、高い再構成忠実度を維持するための、ランダムと最適化された光源・検出器の最適なバランスは何か？
• RQ5 動的サンプルサイズ調整と比較して、ランダムと最適化された光源・検出器を組み合わせることの収束速度と精度への影響は？

主な発見

• 32×32×32メッシュで225個の光源と検出器を有する設定において、提案手法は全光源・検出器を用いた場合と比較して、大規模PDEの解法回数を約12倍削減した。
• 最適化された同時光源・検出器を2個追加することで、SAA法の収束性が向上し、PDEの解法回数は9225回の全データケースと比較して726回にまで削減され、残差ノルムδ²を達成した。
• 最適化された光源・検出器を4個に増やすことで、PDEの解法回数はさらに762回に削減され、高い再構成品質を維持した。
• 本手法は、全データ逆問題と同等の再構成品質を達成しており、中間的な収束許容誤差でも真の異常形状が良好に再現された。
• ランダムと最適化された光源・検出器の組み合わせにより、収束が速く、特に標準SAAが停滞する後段階の最適化においても、堅牢な性能を発揮した。
• 本手法はスケーラブルであり、多数の光源・検出器と複数周波数を有する大規模問題において、さらに顕著な計算的利得が得られると予想される。