[論文レビュー] Randomized Approximation Schemes for Cuts and Flows in Capacitated Graphs

András A. Benczúr, David R. Karger|ArXiv.org|Jul 23, 2002

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、容量付きグラフを $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 条の辺を持つスパースグラフに圧縮する非一様ランダムサンプリング手法を導入し、元のグラフのすべてのカット値を $1\pm\epsilon$ の範囲内に保証する。これにより、最小 $s$–$t$ カットと最大フローの近似が高速化され、$s$–$t$ 最小カットには $\tilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^3)$ 時間、$(1-\epsilon)$-近似最大フローには $\tilde{O}(m\sqrt{n}/\epsilon)$ 時間を達成し、最小カットサイズに依存しない。

ABSTRACT

We improve on random sampling techniques for approximately solving problems that involve cuts and flows in graphs. We give a near-linear-time construction that transforms any graph on n vertices into an O(n\log n)-edge graph on the same vertices whose cuts have approximately the same value as the original graph's. In this new graph, for example, we can run the O(m^{3/2})-time maximum flow algorithm of Goldberg and Rao to find an s--t minimum cut in O(n^{3/2}) time. This corresponds to a (1+epsilon)-times minimum s--t cut in the original graph. In a similar way, we can approximate a sparsest cut to within O(log n) in O(n^2) time using a previous O(mn)-time algorithm. A related approach leads to a randomized divide and conquer algorithm producing an approximately maximum flow in O(m sqrt{n}) time.

研究の動機と目的

• 従来のサンプリングベースのアルゴリズムが最小カットサイズ $c$ に依存するのを克服し、$m/c$ 条の辺までしかエッジを削減できない制限を解消すること。
• 元のグラフ $G$ のすべてのカット値を $1\pm\epsilon$ の範囲内に保つ $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 条の辺を持つスパースグラフ $G'$ を構築する手法を開発すること。
• 圧縮されたグラフ構造を活用して、$s$–$t$ 最小カットおよび最大フローの近似アルゴリズムを高速化すること。
• 長谷川と伊原のスパース証明技術を、エッジの強度とカット感度に基づく非一様サンプリング確率をサポートするように拡張すること。

提案手法

• 最小カットにおけるエッジの強度に基づき、非一様にエッジをサンプリングし、小さなカットを横切るエッジに高いサンプリング確率を割り当てる。
• しきい値処理と最大スパニングツリーを用いたエッジ重みの階層的分解により、エッジの重要性とサンプリング確率を推定する。
• エッジを対数的フェーズに分け、各フェーズで $n$ 倍の要因でしきい値を調整するウィンドウベースの推定手順を適用する。
• 各フェーズで重みが $Dn^2$ 以上のエッジを収縮し、$D$ 以下のエッジを削除することで、ランクが有界なスパース部分グラフを維持する。
• 各MSTエッジが高々3フェーズに寄与することを活用し、総コストを抑え、すべてのフェーズで $O(n)$ のラベルコストを保証する。
• 一般化された重み付きサンプリング定理を用いて、非一様サンプリング下でのカット値の期待値まわりの集中を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小カットサイズ $c$ に依存しないグラフサンプリングが可能になるか、より良いエッジ圧縮が達成できるか。
• RQ2 元のグラフのすべてのカット値を $1\pm\epsilon$ の範囲内に保つ $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 条の辺を持つスパースグラフが構築可能か。
• RQ3 非一様サンプリングが、一様サンプリングの $c$ 依存の制限を超えて、近似最大フローおよび最小カットアルゴリズムの実行時間を改善できるか。
• RQ4 カット感度を反映するエッジサンプリング確率をサポートするように、スパース証明技術を拡張可能か。

主な発見

• 重み付きグラフに対して、$O(m\log^3 n)$ 時間で $O(n\log n/\epsilon^2)$ 条の辺を持つ圧縮グラフ $G'$ を構築でき、元のすべてのカット値を $1\pm\epsilon$ の範囲内に保証する。
• 一般容量グラフに対して、$1+\epsilon$ 近似の $s$–$t$ 最小カットを $\tilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^3)$ 時間で計算可能である。
• フロー値 $v$ のユニット容量グラフに対しては、$1+\epsilon$-近似の $s$–$t$ 最小カットを $\tilde{O}(nv/\epsilon^2)$ 時間で求められ、$O(mv)$ の正確な境界を上回る。
• 非一様分割統治アプローチを用いて、$(1-\epsilon)$-近似最大フローを $\tilde{O}(m\sqrt{n}/\epsilon)$ 時間で計算可能である。
• アルゴリズム全体のラベルコストは $O(n)$ で抑えられ、対数的しきい値を用いたフェーズ単位の処理により、近線形の構築時間が保証される。
• 小さなカットに重要なエッジに集中してサンプリングすることで、一様サンプリングの $m/c$ エッジ削減のボトルネックを回避し、近似的に最適な圧縮と実行時間の改善を達成する。