[論文レビュー] Randomized Approximations of the Image Set of Nonlinear Mappings with Applications to Filtering

Fabrizio Dabbene, Didier Henrion+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不確実性下での非線形写像の像集合を近似するための確率的アルゴリズムを提案する。最小体積多項式スーパーレベル集合を用いることで、確率的に保証され、かつきわめてタイトな近似が達成される。この手法を応用し、確率的保証と計算効率を両立する新しいランダム化予測補正フィルタの族を設計した。数値実験では、従来の集合論的およびガウス型フィルタを上回る性能を示し、非凸的かつ非連結な近似も可能である。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold: In the first part, we leverage recent results on scenario design to develop randomized algorithmsfor approximating the image set of a nonlinear mapping, that is, a (possibly noisy) mapping of a set via a nonlinear function.We introduce minimum-volume approximations which have the characteristic of guaranteeing a low probability of violation, i.e.,we admit for a probability that some points in the image set are not contained in the approximating set,but this probability is kept below a pre-specified threshold.In the second part of the paper, this idea is then exploited to develop a new family of randomized prediction-corrector filters.These filters represent a natural extension and rapprochement of Gaussian and set-valued filters,and bear similarities with modern tools such as particle filters.

研究の動機と目的

• 不確実性下での非線形写像の像集合に対する、計算的に実行可能で、確率的に保証された近似を構築すること。
• 古典的な集合論的フィルタリングを拡張し、精度と計算効率のバランスを取る新しいランダム化予測補正フィルタのクラスを導入すること。
• 最小体積多項式スーパーレベル集合を用いることで、近似集合の凸性制約を緩和し、非凸な像集合をよりタイトかつ柔軟に記述できるようにすること。
• ガウス型と集合値フィルタリングの側面を統合する枠組みを、確率的集合記述を通じて提供すること。
• 境界付きノイズと測定不確実性を伴う非線形力学系に対する数値例を通じて、提案手法の有効性を示すこと。

提案手法

• この手法は、事前に指定された違反確率 ε を満たすように、非線形写像の像集合の近似を生成するシナリオベースのランダム化アルゴリズムを用いる。
• 外挿または内挿近似に比べてよりタイトな記述が可能な、非凸的または非連結な集合を記述できる、最小体積多項式スーパーレベル集合を近似集合として導入する。
• 予測ステップでは、非線形システムのダイナミクスに従って確率的状態近似を伝搬する。補正ステップでは、測定ノイズの上限に基づくスラブ型制約を用いて、測定と整合しないサンプルを除外する。
• アルゴリズムは、測定方程式がノイズ範囲内に収まるサンプルのみを選び、逐次的に状態近似集合を更新することで、確率的整合性を保証する。
• 最小体積近似を計算するために半正定値計画法を活用し、多項式の次数と構造を、精度と計算複雑度のバランスが取れるように選択する。
• 再サンプリングと再利用戦略を採用することで、補正段階で多数のサンプルが除外される場合でも、信頼性の高い近似を維持するための十分なサンプル数を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な外挿または内挿近似に比べて、ランダム化アルゴリズムは非線形写像の像集合に対して、よりタイトで柔軟な近似を提供できるか？
• RQ2 最小体積多項式スーパーレベル集合を用いることで、非凸的かつ非連結な像集合を確率的保証とともに記述できるか？
• RQ3 集合論的フィルタリングとガウス型フィルタリングの長所を統合し、計算的に実行可能であるようなランダム化予測補正フィルタリングフレームワークを設計できるか？
• RQ4 境界付き不確実性下での非線形フィルタリングにおいて、近似のタイトさ、計算コスト、および確率的違反確率のトレードオフは何か？
• RQ5 本手法のフィルタ性能は、ゾノトープ型やガウス型フィルタと比較して、体積と推定誤差の観点でどのように異なるか？

主な発見

• 提案されたランダム化予測補正フィルタは、ゾノトープ型フィルタと同等またはそれ以上の状態近似体積を達成し、計算ははるかに単純である。
• フィルタは確率的保証を維持する：測定不一致により一部のサンプルが除外されても、真の状態が近似集合内にある確率が非常に高い。
• 多項式スーパーレベル集合を用いることで、非凸的かつ非連結な近似が可能となり、凸外挿近似に比べてよりタイトな記述が可能である。
• 数値結果から、提案フィルタの推定誤差の範囲が、最悪ケースの境界を上回ることもあることが示された。これは、低確率イベントを意図的に無視していることを示しており、確率的設計と整合的である。
• 再サンプリングと除外されたサンプルの再利用により、とくに高棄却率の状況下でも、アルゴリズムのロバスト性とサンプル効率が向上する。
• 本手法は計算的に効率的であり、従来の集合論的手法よりも次元数の増加に伴うスケーリングが優れているため、高次元系に対しても適している。