[論文レビュー] Randomized Strategies for Robust Combinatorial Optimization

Yasushi Kawase, Hanna Sumita|ArXiv.org|May 20, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数のシナリオにわたる最悪ケース期待目的関数を最大化する独立集合上の確率的戦略を用いた、不確実性下でのロバストな組合せ最適化のための2つの新しい近似アルゴリズムを提案する。線形目的関数に対しては多面体緩和スキームを導入し、$(\eta,\gamma)$-還元に基づく乗法的重み法を用いることで、線形およびサブモジュラ目的関数の両方の近似比を向上させ、ナップサックおよびマトロイド設定における基数ロバスト性を含む。

ABSTRACT

In this paper, we study the following robust optimization problem. Given an independence system and candidate objective functions, we choose an independent set, and then an adversary chooses one objective function, knowing our choice. Our goal is to find a randomized strategy (i.e., a probability distribution over the independent sets) that maximizes the expected objective value. To solve the problem, we propose two types of schemes for designing approximation algorithms. One scheme is for the case when objective functions are linear. It first finds an approximately optimal aggregated strategy and then retrieves a desired solution with little loss of the objective value. The approximation ratio depends on a relaxation of an independence system polytope. As applications, we provide approximation algorithms for a knapsack constraint or a matroid intersection by developing appropriate relaxations and retrievals. The other scheme is based on the multiplicative weights update method. A key technique is to introduce a new concept called $(η,γ)$-reductions for objective functions with parameters $η, γ$. We show that our scheme outputs a nearly $α$-approximate solution if there exists an $α$-approximation algorithm for a subproblem defined by $(η,γ)$-reductions. This improves approximation ratio in previous results. Using our result, we provide approximation algorithms when the objective functions are submodular or correspond to the cardinality robustness for the knapsack problem.

研究の動機と目的

• 敵が確率的戦略を観測した後に目的関数を選択する最悪ケースシナリオ下でのロバストな組合せ最適化のための効率的近似アルゴリズムの設計。
• 決定的ロバスト最適化のNP困難性を、ランダム化によって克服し、最悪ケース性能を著しく向上させるとともに、多項式時間での解法を可能にする。
• ナップサックおよびマトロイド制約を含む独立系に適用可能な一般化されたアルゴリズムフレームワークの開発、並びに保証された近似性能の達成。
• $(\eta,\gamma)$-還元や緩和に基づくリトリーブスキームといった新技術を導入することで、先行研究の近似比を改善すること。

提案手法

• 線形目的関数の場合、まず独立系ポリトープ上での近似的最適な集約戦略を計算し、その後緩和に基づくアプローチを用いて有効解を損失が有界な範囲で回復する。
• 独立系ポリトープの新たな緩和を導入することで近似比を制御し、ナップサックおよびマトロイドインターセクション制約への適用を可能にする。
• サブモジュラおよび基数ロバスト目的関数の場合、新規の$(\eta,\gamma)$-還元フレームワークを用いた乗法的重み更新法を採用して部分問題の近似をモデル化する。
• $(\eta,\gamma)$-還元の概念により、導出された部分問題に$\alpha$-近似解が存在する場合、アルゴリズムがほぼ$\alpha$-近似解を維持できる。
• ロバスト最適化問題を、アルゴリズムが混合戦略を選択し、敵が最悪ケースのシナリオを選択する2人ゼロ和ゲームとして扱い、ゲーム理論的解法技術を適用する。
• 基数ロバスト性問題への適用では、目的関数を正規化し、確率的戦略がすべての可能な基数制約に対して保証された近似比を達成することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム化は、決定的戦略と比較して、不確実性下での組合せ最適化の最悪ケース性能を著しく改善できるか？
• RQ2 目的関数が線形、サブモジュラ、または基数ロバスト性に対応する場合、ロバストな組合せ最適化で達成可能な近似保証は何か？
• RQ3 乗法的重み更新法は、$(\eta,\gamma)$-還元のような新しい構造的概念を組み合わせることで、近似比を向上させられるか？
• RQ4 独立系上でのロバスト最適化に対して、先行手法を上回る近似比を達成する一般化されたアルゴリズムフレームワークを設計できるか？
• RQ5 決定的バージョンがNP困難であっても、確率的ロバスト最適化問題は多項式時間で解けるか？

主な発見

• 本稿では、線形目的関数および基数制約下でも、決定的バージョンがNP困難であるのに対し、確率的ロバスト最適化問題は多項式時間で解けることを確立している。
• 線形目的関数の場合、提案された緩和に基づくスキームは、独立系の多面体緩和に依存した近似比を達成し、ナップサックおよびマトロイドインターセクション制約に対して明確な保証を提供する。
• $(\eta,\gamma)$-還元を用いた乗法的重みベースのスキームは、先行研究の近似比を改善し、部分問題に$\alpha$-近似解が存在する場合にほぼ$\alpha$-近似解を達成できる。
• ナップサック設定における基数ロバスト性問題に対して、$\frac{2n}{2n+1}$-近似を達成するが、$n$が増加するにつれて1に近づく。
• 本稿では、確率的$\alpha$-ロバスト解が存在するための必要十分条件が、分割問題の解の存在と一致することを証明しており、ロバスト最適化とNP完全性の間にきわめて緊密な関係を確立している。
• 基数ロバスト性問題において、$\alpha = \frac{1}{4} \cdot \frac{3C - 2v(0)}{C - v(0)}$の近似比を達成するが、これは$1 - \frac{r}{2}$に等しく、与えられた構成下でタイトである。