[論文レビュー] Randomized Strategyproof Mechanisms for Facility Location and the Mini-Sum-of-Squares Objective

Michal Feldman, Yoav Wilf|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、木構造ネットワーク上の施設配置に対して、一様な確率的戦略不正直性のないメカニズムの族を導入し、従来の決定的および確率的メカニズムを統合する。直線上ではミニ・サム・オブ・スクェアーズ（miniSOS）目的関数に対して1.5-近似を得ており、一般の木構造では1.83-近似を得ており、いかなる確率的戦略不正直性のないメカニズムでもこれより良い近似は不可能であることを証明している。一方、決定的メカニズムは直線上ですら2-近似を超えることはできない。

ABSTRACT

We consider the problem of locating a public facility on a line, where a set of $n$ strategic agents report their \emph{locations} and a mechanism determines, either deterministically or randomly, the location of the facility. Game theoretic perspectives of the facility location problem advanced in two main directions. The first direction is concerned with the characterization of \emph{strategyproof} (SP) mechanisms; i.e., mechanisms that induce truthful reporting as a dominant strategy; and the second direction quantifies how well various objective functions can be approximated when restricted to SP mechanisms. The current paper provides contributions in both directions. First, we construct a parameterized randomized SP mechanism, and show that all of the previously proposed deterministic and randomized SP mechanisms for the current settings can be formalized as special cases of this mechanism. Second, we give tight results for the approximation ratio of SP mechanisms with respect to the objective of minimizing the sum of squares of distances to the agents (\emph{miniSOS}). Holzman \cite{Holzman1990} provided an axiomatic foundation for this function, showing that it is the unique function that satisfies unanimity, continuity and invariance. We devise a randomized mechanism that gives a 1.5-approximation for the miniSOS function, and show that no other randomized SP mechanism can provide a better approximation. This mechanism chooses the average location with probability 1/2 and a \emph{random dictator} with probability 1/2. For deterministic mechanisms, we show that the median mechanism provides a 2-approximation, and this is tight. Together, our study provides fundamental understanding of the miniSOS objective function and makes a step toward the characterization of randomized SP facility location mechanisms.

研究の動機と目的

• 木構造ネットワークに適用可能な、一様な一般枠組みとしての、既存の決定的および確率的戦略不正直性のないメカニズムを統合すること。
• 木構造ネットワーク上でのミニ・サム・オブ・スクェアーズ（miniSOS）目的関数に対する戦略不正直性のないメカニズムが達成可能な近似比を同定すること。
• ミニSOS目的関数に関して、決定的メカニズムと確率的メカニズムの近似性能の違いを確立すること。
• 直線および一般の木構造ネットワーク上でのミニSOS目的関数に対する確率的戦略不正直性のないメカニズムの近似比について、タイトな上限および下限を提供すること。

提案手法

• 木構造ネットワーク内のノード上に定義された確率分布によってパrameter化された、一般の確率的戦略不正直性のないメカニズム族を提案し、真実の報告が優越戦略であることを保証する。
• ミニSOS目的関数にこのメカニズムを適用し、エージェントから施設までの期待二乗距離の和を最小化するように、施設配置を戦略的にランダム化する。
• 最適な位置に根を置いたエージェントの平均化に基づく部分木分解を用いた、新たな解析技術を用いて近似比を評価する。
• 対称性およびミニSOS関数の凸性の性質を活用して、直線ネットワークへの還元を用いてタイトな境界を導出する。
• 分布的議論を用いて、直線上ではいかなる確率的戦略不正直性のないメカニズムでも1.5-近似を超えることは不可能であることを証明する。
• 木を分解し、各部分木が全体のミニSOS値に与える寄与度を分析することで、一般の木構造ネットワークへの解析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木構造ネットワーク上の施設配置に対して、これまでに提案されたすべてのメカニズムを包含する、一様な確率的戦略不正直性のないメカニズム族を設計できるか？
• RQ2 直線上でのミニSOS目的関数に対して、確率的戦略不正直性のないメカニズムが達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 一般の木構造ネットワーク上でのミニSOS目的関数に対して、確率的戦略不正直性のないメカニズムが達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ4 ミニSOS目的関数に関して、確率的メカニズムの近似性能は決定的メカニズムと比べてどう異なるか？
• RQ5 ミニSOS目的関数に対する確率的戦略不正直性のないメカニズムの近似比について、タイトな下限を確立できるか？

主な発見

• 提案されたメカニズム族は、木構造上の施設配置における既知のすべての決定的および確率的戦略不正直性のないメカニズムを統合し、一般枠組みを提供する。
• 直線上のミニSOS目的関数に対して、メカニズムは1.5-近似を達成しており、これが最適である。いかなる他の確率的戦略不正直性のないメカニズムでもこれより良い近似は不可能である。
• 一般の木構造ネットワーク上では、ミニSOS目的関数に対して1.83-近似を達成する。
• 決定的戦略不正直性のないメカニズムは、直線上ですらミニSOS目的関数を2-近似を超えて近似することはできず、決定的および確率的メカニズムの間で明確な分離が示された。
• 解析から、ミニSOS目的関数は、ミニサムやミニマックス目的関数と比較して、ランダム化による近似に対して本質的により適していることが明らかになった。
• 1.5-近似のタイトさは、分布的下限議論により証明されており、いかなる確率的戦略不正直性のないメカニズムも、少なくともこの期待コストを被る必要があることが示された。