[論文レビュー] Randomly switched vector fields sharing a zero on a common invariant face

Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、原点で共通のゼロを持つが、ある面を不変に保つランダムにスイッチングするベクトル場を有するpiecewise deterministic Markov process (PDMP) を研究する。Lyapunov指数の符号に応じて、過程が原点に概収束するか、原点を除いた場所に不変測度を有するかの条件を確立し、Jacobian行列のブロック構造に基づくものであり、以前の結果（すべての指数が同じ符号を要請）を拡張する。

ABSTRACT

We consider a Piecewise Deterministic Markov Process given by random switching between finitely many vector fields vanishing at $0$. It has been shown recently that the behaviour of this process is mainly determined by the signs of Lyapunov exponents. However, results have only been given when all these exponents have the same sign. In this note, we consider the degenerate case where the process leaves invariant some face and results are stated when the Lyapunov exponents are of opposite signs. Applications are given to Lorenz vector fields with switching, and to SIRS model in random environment.

研究の動機と目的

• ランダムにスイッチングするベクトル場を有するPDMPに関する既存の結果を拡張すること。これは、かつてすべてのLyapunov指数が同じ符号を要請していた。
• 原点を含む不変面を有する退化した場合を分析することにより、Jacobian行列がブロック下三角形となること。
• ブロック成分における最大Lyapunov指数の符号に基づき、原点への概収束または原点に質量を割り当てない不変確率測度の存在についての十分条件を確立すること。
• Lorenz型ベクトル場間のランダムスイッチングの分析におけるギャップを解消し、Markovスイッチング下でのSIRSモデルに関する結果を一般化すること。

提案手法

• プロセスを状態空間 $M \times E$ 上のPDMPとしてモデル化する。ここで $M$ は原点を含むコンパクトかつ局所スターシェイプな集合であり、$E$ はスイッチングモードの有限集合である。
• ベクトル場が原点で消え、面 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ を不変に保つものと仮定し、Jacobian行列がブロック下三角形 $A^i = \begin{pmatrix} B^i & 0 \\ C^i & D^i \end{pmatrix}$ の形を取ることを示す。
• 線形化系に沿った軌道にマルチプライカティブエルゴディック定理を適用し、Lyapunov指数を分析する。最大指数 $\lambda_1(B)$ と $\lambda_1(D)$ が長期的挙動を決定する。
• 生成作用素を用いて径方向成分 $\rho$ と角成分 $\hat{\Theta}$, $\Theta^m$ の進化を分析し、Lyapunov指数寄与の分解を導出する。
• 不変測度は、生成作用素の下での $\hat{V}(\rho, \hat{\theta}, \theta^m, i) = -\log \rho$ のドリフトを分析することで研究され、$\mu \hat{H} > 0$ が $\Lambda_B^+ < \Lambda_D^-$ のとき成り立つことを示す。
• 証明はスイッチング過程のエルゴディシティに依拠し、Hennion (1984) の結果と連続時間のマルチプライカティブエルゴディック定理を適応し、全系のLyapunovスペクトルがブロック $B^i$ と $D^i$ のものと関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムにスイッチングするベクトル場を有するPDMPが、不変面に共通のゼロに収束する場合、どのような条件下で原点に概収束するか？
• RQ2 Lyapunov指数が混合符号を示す場合、原点に質量を割り当てない不変確率測度を有するかどうかは、何によって決定されるか？
• RQ3 Jacobian行列のブロック成分 $B^i$ と $D^i$ のLyapunov指数は、スイッチング系の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 Lorenz型ベクトル場間のランダムスイッチングの分析におけるギャップを、これらの結果が解消できるか？
• RQ5 Markovスイッチングを伴うSIRSモデルは、このフレームワークを用いてどの程度一般化され、回復可能か？

主な発見

• ブロック $B^i$ に関連する最大Lyapunov指数が負であり、かつ $D^i$ ブロックのそれも負である場合、過程は概収束して原点に到達する。
• ブロック $B^i$ の最大Lyapunov指数が正で、$D^i$ ブロックのそれも負である場合、原点に質量を割り当てない不変確率測度を有する。
• 全系のLyapunov指数が混合符号を示す場合でも、本結果は有効であり、[BS18] の結果（すべての指数が同じ符号を要請）は適用不能となる。
• 全系のLyapunovスペクトルは $\lambda_1(A) = \max(\lambda_1(B), \lambda_1(D))$ を満たし、支配的指数が最大の最大Lyapunov指数を持つブロックによって決定されることを示す。
• 面 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ は過程に対して到達可能であり、径方向成分 $\rho$ がゼロに近づくと、その挙動が長期的ダイナミクスを支配することを保証する。
• 本フレームワークは、Markovスイッチングを伴うSIRSモデルに関する結果を回復し、わずかに拡張する。また、Lorenz型ベクトル場間のランダムスイッチング解析における未解決問題を解消する。