[論文レビュー] Range and critical generations of a random walk on Galton-Watson trees

Pierre Andreoletti, Xinxin Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対数ラプラス変換 $ \rho(1) = 0 $ かつ $ \rho'(1) = 0 $ である境界ケースにおける、上位臨界なガルトン＝ワトソン木上の非対称ランダムウォークの範囲 $ R_n $ を研究する。クエンチド解析を用いて、$ R_n $ が漸近的に $ n / \text{log}\,n $ のオーダーで成長することを確立し、その背後にある主な要因はスケール $ (\text{log}\,n)^2 $ の最も訪問回数の多い世代であり、この挙動を引き起こす典型的な環境を同定する。

ABSTRACT

In this paper we consider a random walk in random environment on a tree and focus on the boundary case for the underlying branching potential. We study the range $R\_n$ of this walk up to time $n$ and obtain its correct asymptotic in probability which is of order $n/\log n$. Thisresult is a consequence of the asymptotical behavior of the number of visited sites at generations of order $(\log n)^2$,which turn out to be the most visited generations. Our proof which involves a quenched analysisgives a description of the typical environments responsible for the behavior of $R\_n$.

研究の動機と目的

• 時間 $ n $ までの間に非対称ランダムウォークが訪問する異なる場所の数として定義される範囲 $ R_n $ の漸近的挙動を、境界ケースにおいて理解すること。
• 範囲 $ R_n $ の成長を支配するスケールに相当する、最も頻繁に訪問される生成（臨界生成）を特定すること。
• 範囲の $ n / \log n $ の成長率を引き起こす典型的な環境（木構造およびポテンシャルの分布）を同定すること。
• 零再帰的状態におけるウォークのクエンチド漸近的挙動を確立すること。ここでは、標準的な拡散スケーリングは成立しない。

提案手法

• ランダム環境 $ \mathcal{E} $ を条件づけるために、クエンチド確率測度 $ \mathbb{P}^\mathcal{E} $ を用いる。$ \mathcal{E} $ は、移動量 $ V(z) $ を伴う分岐ランダムウォークによって定義される。
• 遷移確率がポテンシャルの指数関数的負の値 $ e^{-V(z)} $ に依存する非対称ランダムウォークの遷移機構を適用する。これにより、場所依存のバイアスを持つランダム環境をモデル化する。
• スケール $ (\log n)^2 $ の生成における訪問済みサイト数を分析し、これが範囲 $ R_n $ を支配していることを示す。
• ランダムウォーク $ S_k $ を用いたモーメント推定と大偏差バウンドを適用し、$ \underline{S}_k $ および $ \overline{S}_k $ の最初の通過時刻および最大過程の制御を含む。
• マルコフ性とパス分解技術を用いて、$ e^{S_k - \overline{S}_k} $ を含む期待値を評価し、ポテンシャルの尾部挙動を制御する。
• 指数モーメント条件 (1.3) および2次モーメント制御 (1.4) を適用し、クエンチド解析における可積分性と一様性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称ランダムウォークがガルトン＝ワトソン木上で境界ケースにおいて範囲 $ R_n $ をどの程度の漸近的オーダーで成長させるか？
• RQ2 どの生成が最も頻繁に訪問され、その生成が $ R_n $ の成長にどのように寄与しているか？
• RQ3 観察された $ n / \log n $ の範囲の成長率を引き起こす典型的な環境（木構造およびポテンシャルの分布）は何か？
• RQ4 この零再帰的状態において、クエンチド挙動は、アンネールドまたは拡散スケーリングとどのように異なるか？
• RQ5 ウォークの遅い再帰は、木構造とランダムポテンシャルの相乗作用によって説明可能か？

主な発見

• 非対称ランダムウォークの範囲 $ R_n $ は確率的に $ R_n \sim n / \log n $ を満たし、これが正しい漸近的オーダーである。
• 最も訪問回数の多い生成は $ (\log n)^2 $ のオーダーであり、その貢献が全範囲を支配する。
• スケール $ (\log n)^2 $ 近辺の生成における訪問済みサイト数は $ n / \log n $ のオーダーであり、これがウォークの探索における中心的役割を裏付ける。
• クエンチド解析により、$ n / \log n $ の成長率を引き起こす典型的な環境は、$ \psi(1) = 0 $ かつ $ \psi'(1) = 0 $ となるようにポテンシャルがバランスしているものであることが明らかになった。これは境界ケースに一致する。
• ウォークは極めて遅い再帰を示し、時間 $ n $ までに到達した最大生成は $ (\log n)^3 $ のオーダーであるが、これは範囲を決定づけない。
• 証明は、ポテンシャル過程の精密なモーメントバウンドおよびランダムウォーク $ S_k $ の最大値と最小値を含むパスワイズ推定に依存しており、典型的な環境全体にわたる一様な制御を保証する。