[論文レビュー] Range of a Transient 2d-Random Walk

Arnaud Le Ny|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムに向き付けられた格子上の一時的2次元無作為歩行の範囲を研究し、クエンチドおよびアンネールド設定の両方で期待範囲が線形に成長することを証明する。アンネールド設定では弱大数法則を確立し、成長率をクエンチド・グリーン関数を用いて表現し、分散が部分線形であることを示し、非標準的中央極限定理のスケーリングを支持する。

ABSTRACT

We study the range of a planar random walk on a randomly oriented lattice, already known to be transient. We prove that the expectation of the range grows linearly, in both the quenched (for a.e. orientation) and annealed ("averaged") cases. We also express the rate of growth in terms of the quenched Green function and eventually prove a weak law of large numbers in the (non-Markovian) annealed case.

研究の動機と目的

• ランダムに向き付けられた格子上の一次的2次元無作為歩行の範囲の漸近的挙動を分析すること。
• ほとんど確実な向き付けの下で、範囲に対するクエンチド弱大数法則を確立すること。
• アンネールド弱大数法則を導出し、成長率をクエンチド・グリーン関数の観点から特徴付けること。
• 範囲の分散を調査し、この非マルコフ的設定における中心極限定理の可能性に与える影響を検討すること。

提案手法

• 水平格子線にi.i.d.なラデマッハ向き付けを定めたランダム環境を用い、歩行のための有向グラフを構成する。
• クエンチドおよびアンネールド測度を用いて歩行の挙動を研究し、アンネールド法則は全般的な向き付け依存性により非マルコフ的である。
• カステル他による局所極限定理を応用して帰還確率を推定し、$ \mathbb{P}[M_n = (0,0)] = C \cdot n^{-5/4} + o(n^{-5/4}) $ を示す。
• クエンチド・グリーン関数 $ U_{\text{cp}}^{(\epsilon)} $ を導出し、期待範囲の成長率 $ \gamma_{\text{cp}} $ を表現するのに用いる。
• 訪問確率への分解を用いて範囲の分散を分析し、マルコフの不等式を用いて弱大数法則の証明を行う。
• アンネールド分散を制御するため、$ \mathbb{P}^{(\epsilon)}[A_j] $、$ \mathbb{P}^{(\epsilon)}[A_{j,k}] $ などの項をバウンディングし、集中性の議論を用いて0への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに向き付けられた格子上の一次的2次元無作為歩行の期待範囲は、クエンチド設定でも線形に成長するか？
• RQ2 アンネールド設定における範囲の成長率は何か？ また、クエンチド・グリーン関数とどのように関係しているか？
• RQ3 プロセスが非マルコフ的であるにもかかわらず、アンネールド測度の下で範囲に対する弱大数法則を確立できるか？
• RQ4 範囲の分散の漸近的挙動は何か？ これは非標準的中央極限定理を支持するか？
• RQ5 ランダム環境の構造は、標準的2次元無作為歩行と比較して、再帰・非再帰の二分法にどのような影響を及けるか？

主な発見

• クエンチド設定では期待範囲が線形に成長する：$ \mathbb{E}^{(\epsilon)}[R_n] = n \cdot \gamma_{\text{cp}} + o(n) $ が $ \rho $-ほとんど確実に成り立ち、$ \gamma_{\text{cp}} $ はクエンチド・グリーン関数を用いて表現される。
• アンネールド設定では弱大数法則が成立する：$ \frac{R_n}{n} \xrightarrow{\mathbb{P}} \gamma_{\text{cp}} $、ここで $ \gamma_{\text{cp}} = \mathbb{E}_{\rho}[U_{\text{cp}}^{(\epsilon)}] $。
• アンネールド分散 $ \text{Var}_{\text{cp}}(R_n) $ は部分線形であり、$ \frac{1}{n^2} \text{Var}_{\text{cp}}(R_n) \to 0 $ を満たし、確率収束を示唆する。
• 本稿では分散が $ n^{3/2} $ のスケーリングを取る可能性が示唆されており、正規化 $ \sqrt{n\sqrt{n}} $ を用いた非標準的中央極限定理が成立する可能性がある。
• クエンチド弱大数法則は、アンネールド解析の副産物として回復される。
• このモデルは、ランダムな向き付けのおかげで、2次元における古典的ポーリャの再帰・非再帰の二分法を破り、クエンチド測度の下でほとんど確実に非再帰的になる。