[論文レビュー] Range-separated tensor formats for numerical modeling of many-particle interaction potentials

Peter Benner, Venera Khoromskaia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バイオ分子における電気双極子ポテンシャルなど、3次元の長距離多粒子相互作用ポテンシャルの効率的な数値モデリングを目的として、範囲分離（RS）型の正準／タッカー tensor 形式を導入する。単一粒子ポテンシャル（例：1/‖x‖）を局所的および長距離的成分に分割することで、長距離成分をタッカー階数が N および n に対して対数的にしか増加しない低ランクタッカー tensor で表現し、多粒子ポテンシャル和算の計算量を O(Nn) に抑えることが可能になる。

ABSTRACT

We introduce and analyze the new range-separated (RS) canonical/Tucker tensor format which aims for numerical modeling of the 3D long-range interaction potentials in multi-particle systems. The main idea of the RS tensor format is the independent grid-based low-rank representation of the localized and global parts in the target tensor which allows the efficient numerical approximation of $N$-particle interaction potentials. The single-particle reference potential like $1/\|x\|$ is split into a sum of localized and long-range low-rank canonical tensors represented on a fine 3D $n imes n imes n$ Cartesian grid. The smoothed long-range contribution to the total potential sum is represented on the 3D grid in $O(n)$ storage via the low-rank canonical/Tucker tensor. We prove that the Tucker rank parameters depend only logarithmically on the number of particles $N$ and the grid-size $n$. Agglomeration of the short range part in the sum is reduced to an independent treatment of $N$ localized terms with almost disjoint effective supports, calculated in $O(N)$ operations. Thus, the cumulated sum of short range clusters is parametrized by a single low-rank canonical reference tensor with a local support, accomplished by a list of particle coordinates and their charges. The RS canonical/Tucker tensor representations reduce the cost of multi-linear algebraic operations on the 3D potential sums arising in modeling of multi-dimensional data by radial basis functions, say, in computation of the electrostatic potential of a protein, in 3D integration and convolution transforms, computation of gradients, forces and the interaction energy of a many-particle systems, and in low parametric fitting of multi-dimensional scattered data by reducing all of them to 1D calculations.

研究の動機と目的

• タンパク質や周期的クーロン系のような大規模 N 粒子系における長距離相互作用ポテンシャルの和算という計算課題に取り組む。
• 直接和算の O(N²) の計算量と、グリッドベースの電気双極子系における従来のエーウェル法や P3M 法の高コストを克服する。
• グリッドベースの表現を用いて、局所的および長距離的寄与を別々に取り扱う低ランク tensor 形式を開発する。
• tensor 圧縮を用いて 3次元演算を 1次元計算に還元することで、電気双極子ポテンシャル、力、エネルギーの効率的計算を実現する。

提案手法

• 範囲分離技術を用いて、単一粒子ポテンシャル（例：1/‖x‖）を局所的成分と滑らか化された長距離成分に分割する。
• 3次元の n×n×n カルテシアングリッド上に長距離成分を低ランク正準 tensor 形式で表現する。
• 多層グリッド加速を施した正準からタッカーへの変換（C2T 変換）を適用し、長距離 tensor をタッカー形式に圧縮することで、ストレージおよび計算コストを低減する。
• 交替最小二乗法（ALS）反復と特異値分解（SVD）の切り捨てを用いてタッカー分解を計算し、ε 切り捨て基準を用いてランク制御を適応的に行う。
• 短距離成分を N 個の局所的でほぼ非重複な寄与として扱い、それぞれを局所的サポートを持つ低ランク正準 tensor で表現する。
• 粒子座標および電荷によってパrameter化された単一の低ランク正準 tensor に短距離寄与を集約することで、O(N) の計算量を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離ポテンシャル成分は、粒子数 N およびグリッドサイズ n に対して最小限のランク増加で、低ランク tensor 形式に効率的に表現可能か？
• RQ2 範囲分離 tensor 形式により、3次元の多重線形代数演算（例：畳み込み、積分）を 1次元演算に低減できるか？
• RQ3 長距離ポテンシャル近似におけるタッカー階数は、粒子数 N およびグリッドサイズ n にどのように依存するか？
• RQ4 tensor 圧縮およびグリッドベース表現を用いることで、N 粒子ポテンシャルの和算の計算コストを O(Nn) に低減できるか？

主な発見

• 長距離ポテンシャル成分のタッカー階数は、粒子数 N およびグリッドサイズ n に対して対数的にしか増加しない。
• 多層グリッド加速を施した正準からタッカーへの変換により、tensor 圧縮のコストが O(n²R) から O(Rn) に低減され、スケーラブルな計算が可能になる。
• 長距離ポテンシャル和は O(n) のストレージでタッカー形式に表現され、効率的な 3次元演算を 1次元計算に低減可能である。
• 短距離成分は、局所的サポートを持つ単一の低ランク正準 tensor に集約され、O(N) の計算量で計算可能である。
• 低パrameter化された tensor 表現を用いることで、多粒子系における勾配、力、相互作用エネルギーの効率的計算が可能になる。
• 本手法により、全ポテンシャル和の漸近的計算量が O(Nn) に低減され、直接和算の O(N²) より顕著に改善される。