[論文レビュー] Range Theorems for Quantum Probability and Entanglement

Itamar Pitowsky|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、エンタングル状態から導かれる量子確率分布の範囲を用いて、量子もつれを幾何学的に測定する枠組みを導入する。集合 $bell(n)$ を、2粒子系における量子測定から得られるすべての結合確率行列の集合として定義し、それが凸であること、および古典的確率分布の範囲 $c(n)$ を含むこと（$bell(n) \supset c(n)$）を証明する。さらに、量子軌道 $b(W,n)$ と古典的多面体 $c(n)$ の間の最大距離に基づく幾何学的もつれ尺度を提案し、この尺度は積状態（分離状態）においてのみ消失する。

ABSTRACT

We consider the set of all matrices of the form $p_{ij}=tr[W(E_{i}\otimes F_{j})]$ where $E_{i}$, $F_{j}$ are projections on a Hilbert space $H$, and $W$ is some state on $H\otimes H$. We derive the basic properties of this set, compare it with the classical range of probability, and note how its properties may be related to geometric measures of entanglement.

研究の動機と目的

• 2粒子系において各粒子に $n$ 個の射影を施したときの量子結合確率の範囲を表す集合 $bell(n)$ を定義し、その性質を特徴づけること。
• $bell(n)$ を古典的相関多面体 $c(n)$ と比較し、$bell(n) \supset c(n)$ が成り立ち、もつれ状態が $c(n)$ の外側に位置する確率分布を生成することを確立すること。
• 量子軌道 $b(W,n)$ と古典的多面体 $c(n)$ の間の最大ユークリッド距離に基づく幾何学的もつれ尺度 $\mathcal{E}(W)$ を提案し、この尺度が状態が分離状態である場合に限りゼロとなること。
• この尺度がシュミットランクの優越関係に関して単調性を示す条件を調査し、また、フォン・ノイマンエントロピーなどの既知のもつれ尺度との潜在的な関連を検討すること。

提案手法

• 量子状態 $W$ が $H \otimes H$ 上に存在するとき、$p_{ij} = \mathrm{tr}[W(E_i \otimes F_j)]$ で与えられる行列 $(p_{ij})$ の集合として $bell(n)$ を定義する。ここで $E_i, F_j$ は有限次元ヒルベルト空間 $H$ 上の射影である。
• $bell(n)$ が凸であり、$q(n) \supset bell(n) \supset c(n)$ を満たすことを証明する。ここで $q(n)$ はテンソル積の代わりに部分空間の交わりを用いる。
• 固定された純粋状態 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$ に対して、射影 $E_i, F_j$ を変化させたすべての行列の集合として、軌道 $b(W,n)$ を定義する。
• 古典的確率空間を $[0,1]^2$ 上の一様測度を用いて構成することにより、$b(W,n) \subset c(n)$ が成り立つのは $W$ が積状態である場合に限ることを示す。
• 実数空間 $\Re_{n+1}$ 上の連続ノルムを用いて、$\mathcal{E}(W) = \sup_{(p_{ij}) \in b(W,n)} \min_{(q_{ij}) \in c(n)} \| (p_{ij}) - (q_{ij}) \|$ として、幾何学的もつれ尺度 $\mathcal{E}(W)$ を定義する。
• ジンとペレスの結果を用いて、非積状態がベル不等式を破ることを示し、$b(W,n) \nsubseteq c(n)$ であるため、もつれ状態では $\mathcal{E}(W) > 0$ となることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $bell(n)$ の幾何学的構造は何か？ また、古典的相関多面体 $c(n)$ とはどのような関係にあるか？
• RQ2 量子軌道 $b(W,n)$ と古典的多面体 $c(n)$ の間の最大距離が、有効なもつれ尺度として機能するか？
• RQ3 この幾何学的尺度がシュミットランクの優越関係に関して単調性を示す条件は何か？
• RQ4 この幾何学的尺度と、フォン・ノイマンエントロピーなどの既知のもつれ尺度との間に、関連性があるか？

主な発見

• $bell(n)$ は凸集合であり、$c(n)$ を含む。$n \geq 2$ のとき、$bell(n) \supset c(n)$ は厳密な包含関係であり、その理由はもつれ状態が古典的範囲の外側に位置する確率分布を生成するためである。
• 任意の純粋状態 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$ に対して、$b(W,n)$ が $c(n)$ に完全に含まれるための必要十分条件は、$W$ が積状態であることである。そうでない場合、$b(W,n) \nsubseteq c(n)$ となり、量子非局所性が古典的不等式の破れによって検出可能であることが示される。
• $c(n)$ への距離の上界として定義される幾何学的もつれ尺度 $\mathcal{E}(W)$ は、$W$ が積状態である場合に限りゼロとなるため、忠実なもつれ尺度である。
• $c(n)$ のコンパクト性とユークリッド位相におけるノルムの連続性により、尺度 $\mathcal{E}(W)$ は連続的かつ適切に定義されている。
• $n=2$ のとき、$c(n)$ の面を定義する不等式の数は24個であり、クラウザー＝ホーン不等式を含む。これらはもつれ状態によって破られるため、もつれ状態の $W$ に対して $b(W,n)$ が非古典的であることが確認される。
• 本稿では、$\mathcal{E}(W)$ がシュミットランクの優越関係に関して単調性を示すか、またはフォン・ノイマンエントロピーなどの既知の尺度と同等かは未解決のまま残されているが、ニールセンの定理を介した潜在的な関連性が示唆されている。