[論文レビュー] Rank-1 Games With Exponentially Many Nash Equilibria

Bernhard von Stengel|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2012

Game Theory and Applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ランク1のペイオフ行列を備えた非退化な $n \times n$ バイマトリックスゲームの族を構築し、その中で正確に $2^n - 1$ 個のナッシュ均衡が存在することを示しており、ランク1ゲームが指数的数の均衡を有し得ることを示している。構築法は、指数関数的に増加する要素を有する上三角行列 $A$ と $B = A^T$ を用い、$A+B$ がランク1となるようにし、サポートに基づく混合戦略による再帰的戦略構成によって、指数的数の均衡を生み出す。

ABSTRACT

The rank of a bimatrix game (A,B) is the rank of the matrix A+B. We give a construction of rank-1 games with exponentially many equilibria, which answers an open problem by Kannan and Theobald (2010).

研究の動機と目的

• カナンとトーボルド（2010）が提起した、ランク1ゲームが指数的数のナッシュ均衡を有し得るか否かという未解決問題を解消すること。
• ランク1のペイオフ行列を備えた非退化なバイマトリックスゲームの明示的例を構築し、指数的数のナッシュ均衡を示すこと。
• ランク1ゲームにおける均衡の数が $2^n - 1$ 倍にまで増加しうることを示し、非退化ゲームの既知の最大値と一致させること。
• ランク1ゲームにおけるパrameterized線形計画法アルゴリズムの解の経路が、指数的数の均衡の存在により指数的長さにまでなる可能性があることを示すこと。

提案手法

• ペイオフ行列 $A$ と $B = A^T$ を備えた $n \times n$ バイマトリックスゲームを定義し、$A$ を上三角行列とし、$j > i$ のとき $a_{ij} = 2p^{i+j}$、$a_{ii} = p^{2i}$、$j < i$ のとき $a_{ij} = 0$ とする。
• $A + B = \alpha \beta^T$ となることを証明し、$\alpha_i = p^i$、$\beta_j = 2p^j$ とすることで、$A + B$ がランク1であることを示す。
• サポート $S \subseteq \{1, \dots, n\}$ を持つ混合戦略 $y$ を構築し、$s = \max S$ から始め、再帰的に $i \in S$ に対して $(Ay)_i = u$ を解いて $y_i$ を決定する。
• $i \in S$ のときすべての $y_i > 0$ であり、それ以外の場合は $y_i = 0$ であることを保証し、$y$ が有効な混合戦略となるように再スケーリングする。
• $S$ が空でない限り、$(y, y)$ がナッシュ均衡であることを確認する。これは $S$ 内部で期待ペイオフが等しく、$S$ 外部では低いためである。
• ゲームの対称性と非退化性を用いて、各サポート集合 $S$ がちょうど1つの対称均衡を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1のバイマトリックスゲームが指数的数のナッシュ均衡を有し得るか？
• RQ2 ランク1ゲームにおけるナッシュ均衡の数は、$n$ に対して多項式的であると制限されるか？
• RQ3 指数的数の均衡が存在することは、ランク1ゲームにおけるパrameterized線形計画法アルゴリズムの解の経路が指数的長さにまでなることを示唆するか？
• RQ4 多くの均衡を有するゲームの構築は、既知のパrameterized LPの例から体系的に導出可能か？

主な発見

• 構築された $n \times n$ バイマトリックスゲームには正確に $2^n - 1$ 個のナッシュ均衡が存在し、純粋戦略集合の空でないすべての部分集合ごとに1つずつ存在する。
• ゲームは非退化であり、任意の混合戦略がそのサポートのサイズより多くの純粋最適応答を持たないため、すべての均衡が孤立している。
• 行列 $A + B$ はランク1であるため、問題が要請するランク1ゲームであることが確認された。
• 均衡の数は、同一ペイオフ行列を有する対称ゲームの理論的上限に一致しているが、$n \geq 6$ の場合、一般の非退化ゲームの均衡数を上回っている。
• Adsul 他（2011）が用いたパrameterized線形計画法の解の経路は、指数的数の均衡の存在により $2^n$ 個のセグメントを含む必要がある。これは、マーティ（1980）の指数的経路例と一致する。