[論文レビュー] Rank 2 affine MV polytopes

Pierre Baumann, Thomas Dunlap+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、装飾付き多角形を用いて、アフィン Kac-Moody代数 $\check{\mathrm{sl}}_2$ のクリスタル $B(-\infty)$ の組み合わせ的実現を構成する。これは、有限型の Mirković-Vilonen 多角形をアフィン設定に一般化したものである。これらの MV 多角形は、左または右の側面によって一意に決定され、クリスタル作用素は辺の長さの変化によって作用し、Kashiwara の対合に関して閉じている。この構成は、格子スケーリング写像を介して $A_2^{(2)}$ に拡張され、$B^{A_2^{(2)}}(-\infty)$ とクリスタル同型であることが得られる。

ABSTRACT

We give a realization of the infinity crystal for affine sl(2) using decorated polygons. The construction and proof are combinatorial, making use of Kashiwara and Saito's characterization of the infinity crystal in terms of the * involution. The polygons we use have combinatorial properties suggesting they are the analogues in this case of the Mirkovic-Vilonen polytopes defined by Anderson and the third author in finite type. Using Kashiwara's similarity of crystals we also give MV polytopes for $A_2^{(2)}$, the only other rank two affine Kac-Moody algebra.

研究の動機と目的

• 装飾付き格子多角形を用いて、$\check{\mathrm{sl}}_2$ の根格子におけるクリスタル $B(-\infty)$ の組み合わせ的実現を提供すること。
• 有限型の Mirković-Vilonen 多角形の構成をアフィン設定に一般化し、重要な構造的性質を保つこと。
• 格子スケーリング写像を用いて、$A_2^{(2)}$ への構成を拡張し、クリスタル同型を確立すること。
• 得られた多角形がクリスタルの定義公理（Kashiwara の対合およびクリスタル作用素の作用を含む）を満たすことを確認すること。

提案手法

• 非交差する対角線の系を用いて、$\check{\mathrm{sl}}_2$ の根格子における装飾付き多角形を定義し、有限型 MV 多角形の構成を一般化する。
• $\check{\mathrm{sl}}_2$ の構成を、$\alpha_0 \mapsto \tilde{\alpha}_0$、$\alpha_1 \mapsto \tilde{\alpha}_1/2$ を満たす格子スケーリング写像 $\gamma$ を介して、Kashiwara のクリスタル類似性を用いて $A_2^{(2)}$ に持ち上げる。
• 整数 $A_2^{(2)}$ MV 多角形を、整数 $\check{\mathrm{sl}}_2$ MV 多角形の $\gamma$ による像として特徴づけ、Lusztig データおよび辺ラベルの整数性条件を課す。
• クリスタル作用素 $e_0$、$e_1$、$f_0$、$f_1$ が左または右の側面の辺の長さを増減させることで作用し、多角形構造を保存することを証明する。
• $B^{A_2^{(2)}}(-\infty)$ がその最低重量元を $e_0$ および $e_1$ で生成することを用いて、多角形上のクリスタル構造が $B(-\infty)$ と一致することを、厳密な準同型を用いて確認する。
• Kashiwara の対合が多角形の根格子における符号反転に対応することを確認し、$\varphi_i$ および $\varphi_i^*$ が上辺および下辺の長さによって与えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 装飾付き格子多角形を用いて、Mirković-Vilonen 多角形をアフィン Kac-Moody 代数 $\check{\mathrm{sl}}_2$ に一般化できるか？
• RQ2 得られた多角形は、有限型 MV 多角形と同様の組み合わせ的公理（側面の決定性および非交差対角線系）を満たすか？
• RQ3 $A_2^{(2)}$ の $B(-\infty)$ のクリスタル構造を、$\check{\mathrm{sl}}_2$ MV 多角形の変換によってどのように組み合わせ的に実現できるか？
• RQ4 $\gamma$ による $\check{\mathrm{sl}}_2$ MV 多角形の像と $B^{A_2^{(2)}}(-\infty)$ の間にはクリスタル同型が存在するか？
• RQ5 $B(-\infty)$ 上の $*$-対合が多角形上で符号反転に対応するか？また、$\varphi_i$ および $\varphi_i^*$ は辺の長さによって与えられるか？

主な発見

• $\check{\mathrm{sl}}_2$ MV 多角形の集合は、$B^{\check{\mathrm{sl}}_2}(-\infty)$ とクリスタル同型であり、クリスタル作用素 $e_1$ および $e_0$ はそれぞれ左側および右側の上辺の長さを増加させる。
• 各 MV 多角形は、左または右の側面によって一意に決定され、任意の有効な側面データは一意に一つの MV 多角形に対応する。
• Kashiwara の $*$-対合は、根格子における多角形の符号反転に対応する。
• クリスタル作用素 $e_1$ および $e_0$ は、それぞれ左側および右側の上辺の長さを 1 増加させ、$\varphi_1$、$\varphi_1^*$ は上辺および下辺の長さによって与えられる。
• $A_2^{(2)}$ に対して、$\check{\mathrm{sl}}_2$ MV 多角形の $\gamma$ による像は、$B^{A_2^{(2)}}(-\infty)$ とクリスタル同型である整数 $A_2^{(2)}$ MV 多角形の集合をなす。
• この構成により、多角形がクリスタルの定義公理（$e_i$、$f_i$ および重み写像の整合性を含む）を満たすことが確認され、多角形の集合から $B(-\infty)$ への厳密な準同型を用いて、クリスタル構造が一致することが示された。