[論文レビュー] Rank 2 integrable systems of Prym varieties

Jacques Hurtubise, Eyal Markman|ArXiv.org|Apr 9, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Jacobiansから一般化されたPrym多様体へとランク2可積分系の枠組みを一般化し、χ*-値をとる2次形式を備えた(v+1)次元多様体Xを導入することで、このような系とこの構造を持つシンプレクティック多様体の間の対応を確立する。主な貢献は、スペクトル曲線とWeyl群作用を用いて非アーベル的構造へとHitchin型系を拡張する、Prym多様体のランク2可積分系を特徴付ける内在的な幾何的不変量の同定である。

ABSTRACT

A correspondence between 1) rank 2 completely integrable systems of Jacobians of algebraic curves and 2) (holomorphically) symplectic surfaces was established in a previous paper by the first author. A more general abelian variety that occurs as a Liouville torus of integrable systems is a prym variety associated to a triple (S,W,V) consisting of a curve S, a finite group W of automorphisms of S and an integral representation V. Often W is a Weyl group of a reductive group and V is the root lattice. We establish an analogous correspondence between: i) Rank 2 integrable systems whose Liouville tori are generalized prym varieties Prym(S_u,W,V) of a family of curves S_u, u in U. ii) Varieties X of dimension 1+dim(V) with a W-action and an invariant V-valued 2-form. If V is one dimensional X is a symplectic surface. We obtain a rigidity result: When the dimension of V is at least 2, under mild additional assumptions, all the quotient curves $S_u/W$ are isomorphic to a fixed curve C. This rigidity result imposes considerable constraints on the variety X: X admits a W-invariant fibration to C and the generic fiber has an affine structure modeled after V. Examples discussed include: Hitchin systems, reduced finite dimensional coadjoint orbits of loop algebras, and principal bundles over elliptic K3 surfaces.

研究の動機と目的

• ランク2代数的可積分系の幾何的特徴付けをJacobiansから一般化されたPrym多様体へと拡張すること。
• このような可積分系を分類する標準的な幾何的不変量として、χ*-値をとる2次形式を備えた(v+1)次元多様体Xを同定すること。
• 局所的ランク2Prym可積分系とχ*-値をとる2次形式を備えたシンプレクティック多様体Xとの間の対応を確立すること。
• GL(r,C)から再帰的群Gへとスペクトル曲線と固有線束の構成を一般化し、Weyl群作用とH束を用いること。
• 楕円曲面上のG束のモジュライ空間が、W-不変スペクトル曲線に関連する一般化されたPrym多様体のファイブレーションから再構成可能であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、Wがリーマン面および格子χの両方に作用するとき、スペクトル曲線S上のW-不変H束のモジュライ空間として一般化されたPrym多様体を定義する。
• (v+1)次元多様体Xにχ*-値をとる2次形式を導入し、これは一般化されたアーベル写像を通じてシンプレクティック形式の引き戻しとして得られる。
• この構成では、スペクトル曲線Sを底曲線Σの分岐被覆として用い、モノドロミーはWeyl群Wによって制御される。
• 系が代数的可積分であることが示され、シンプレクティック葉が一般化されたPrym多様体に同型なラグランジュ被覆を持つことが証明される。
• 著者らは、楕円ファイブレーションp:Z→Σ上のG束の相対モジュライ空間を用いて可積分系を構成し、底空間UをY→Σのセクションのヒルベルトスキームのザリスキ開部分集合と特定する。
• 鍵となる技術的道具は、[E⊗Zχ]/WがE上の半安定G束のモジュライ空間に同型であることを特定することであり、これはΣ上の族へと拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的可積分系におけるランク2条件を、JacobiansからPrym多様体へと幾何的不変量を用いて一般化可能か？
• RQ2 局所的ランク2可積分系の一般化されたPrym多様体を分類する自然な幾何的対象Xは何か？
• RQ3 GL(r,C)-Hitchin系のスペクトル曲線構成は、GL(r,C)でない再帰的群Gへとどのように拡張可能か？
• RQ4 Weyl群作用は、一般化されたPrym多様体および関連するシンプレクティック形式の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 楕円曲面上のG束のモジュライ空間は、W-不変スペクトル曲線をパラメータとする一般化されたPrym多様体のファイブレーションから再構成可能か？

主な発見

• 本稿は、局所的ランク2一般化Prym可積分系とχ*-値をとる2次形式を備えた(v+1)次元シンプレクティック多様体Xとの間の1対1対応を確立する。
• 一般化されたPrym多様体は、KΣ⊗h内のW-不変曲線S上のW-不変H束のモジュライ空間として生じる。ここでHはGのカルタン部分群である。
• G = SLnの場合、楕円ファイブレーション上のG束の相対モジュライ空間は、リー代数上の不変多項式の次数によって決定される重みを備えた重み付き射影バンドルに同型である。
• [E⊗Zχ]/WはE上の半安定G束のモジュライ空間に同型であり、この同型はΣ上の族へと拡張される。
• 半安定G束のモジュライ空間M⁰は、Y→Σのセクションのヒルベルトスキームのザリスキ開部分集合Uへと写像され、そのファイバーは一般化されたPrym多様体に同型である。
• 構成により、スペクトル曲線とPrym多様体の要素から元のG束が再構成可能であり、これはHitchin系のスペクトルデータによる再構成を一般化する。