[論文レビュー] Rank-based persistence

Mattia G. Bergomi, Pietro Vertechi|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規圏およびアーベル圏におけるランク関数を公理化することで、持久ホモロジーの包括的カテゴリー的枠組みを導入し、ベクトル空間や集合を超えた一般化された持久モジュールを可能にする。半単純アーベル圏において、入れ違い距離と多色ボトルネック距離が等価であることを確立し、群作用やラベル化された点群などの対称性やラベルを有するデータの構造的解析を、色付き持久図を用いて可能にする。

ABSTRACT

Persistence has proved to be a valuable tool to analyze real world data robustly. Several approaches to persistence have been attempted over time, some topological in flavor, based on the vector space-valued homology functor, other combinatorial, based on arbitrary set-valued functors. To unify the study of topological and combinatorial persistence in a common categorical framework, we give axioms for a generalized rank function on objects in a target category, so that functors to that category induce persistence functions. We port the interleaving and bottleneck distances to this novel framework and generalize classical equalities and inequalities. Unlike sets and vector spaces, in many categories the rank of an object does not identify it up to isomorphism: to preserve information about the structure of persistence modules, we define colorable ranks, persistence diagrams and prove the equality between multicolored bottleneck distance and interleaving distance in semisimple Abelian categories. To illustrate our framework in practice, we give examples of multicolored persistent homology on filtered topological spaces with a group action and labeled point cloud data.

研究の動機と目的

• ランク関数を用いて、トポロジー的および組合せ的持久理論を共通のカテゴリー的枠組みで統一すること。
• 古典的持久ツール（持久図、入れ違い、ボトルネック距離など）を、任意の正規圏およびアーベル圏へ一般化すること。
• 群作用を伴うフィルトレーション空間やラベル化された点群などの構造的データへ、色付きランク関数と多色持久図を導入することで、持久ホモロジーを拡張すること。
• 半単純アーベル圏において、多色ボトルネック距離が入れ違い距離と等価であることを証明し、古典的安定性結果を一般化すること。
• ラベル情報を取り入れたトポロジカル類似度測度を導入することで、機械学習における構造的データ解析の基盤を提供すること。

提案手法

• オブジェクトに整数値ランク関数を備えた正規圏としてのランク付き圏を定義し、次元や基数を一般化する。
• ランク付き圏への函手からカテゴリー的持久関数を構成し、[4]の整合的サンプリング法をより豊かな終域圏へ拡張する。
• ファイバーごとのランク関数を体系的な方法として導入し、次元や基数を特別な場合として回復する。
• カテゴリー的設定におけるコーナーポイントとその重複度を用いて持久図を定義し、古典的構成を一般化する。
• 構造的情報を（例えば群作用やラベルなど）保持するため、持久図の色分けを導入し、多色ボトルネック距離を定義する。
• 半単純アーベル圏において、色を保存する双対写像の制限のもとで、入れ違い距離が多色ボトルネック距離と等価であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク関数を用いて、トポロジー的および組合せ的持久理論を統一するカテゴリー的枠組みを構築できるか？
• RQ2 任意の圏において持久図と安定距離を支えるために、ランク関数が満たすべき公理は何か？
• RQ3 群作用を伴うフィルトレーション空間やラベル化された点群のような構造的データへ、どのようにして持久を拡張できるか？
• RQ4 一般化された持久枠組みにおいて、多色ボトルネック距離が入れ違い距離と等価となる条件は何か？
• RQ5 色付き持久図は、ラベルや対称性などの追加のデータ構造を尊重するトポロジカル類似度測度を提供できるか？

主な発見

• 本稿は、正規圏およびアーベル圏におけるランク関数を用いた、普遍的な持久の枠組みを確立し、古典的および組合せ的アプローチを統合する。
• 半単純アーベル圏において、双対写像が色を保存する制限のもとで、入れ違い距離が多色ボトルネック距離と等価であることを証明した。
• 本枠組みにより、群作用を伴うフィルトレーショントポロジカル空間のための多色持久図が構築可能となり、群表現構造が保持される。
• ラベル化された点群データは、多色持久を用いて解析可能であり、ラベルが色分けを定義し、構造的類似度測度を可能にする。
• 一般化された持久枠組みは、任意の函手のもとで入れ違いおよび $\epsilon$-入れ違いを保存し、圏間での階層的解析を可能にする。
• ファイバーごとのランク構成により、ベクトル空間における次元や集合における基数といった古典的ランク関数が特別な場合として回復される。