[論文レビュー] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications

Yongge Tian|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2000

Matrix Theory and Algorithms参考文献 82被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化逆行列（ムーア・ペネロープ、ドレイジン、重み付きムーア・ペネロープ逆行列など）を含む行列式の最大および最小ランクを計算する一般化された手法を開発する。ブロック行列のランク公式を用いて、行列式のランク等式を確立し、行列方程式、逆順法則、スチェュール補行列に関する応用を含む。一般化逆行列を含む行列恒等式が成り立つための必要十分条件を、構造的行列式のランク解析によって特定する。

ABSTRACT

This paper is divided into two parts. In the first part, we develop a general method for expressing ranks of matrix expressions that involve Moore-Penrose inverses, group inverses, Drazin inverses, as well as weighted Moore-Penrose inverses of matrices. Through this method we establish a variety of valuable rank equalities related to generalized inverses of matrices mentioned above. Using them, we characterize many matrix equalities in the theory of generalized inverses of matrices and their applications. In the second part, we consider maximal and minimal possible ranks of matrix expressions that involve variant matrices, the fundamental work is concerning extreme ranks of the two linear matrix expressions $A - BXC$ and $A - B_1X_1C_1 - B_2X_2C_2$. As applications, we present a wide range of their consequences and applications in matrix theory.

研究の動機と目的

• さまざまな一般化逆行列を含む行列式のランクを表現・計算する一般化された手法を開発すること。
• ランクに基づく条件を用いて、一般化逆行列理論における行列等式を特徴付けること。
• A − BXC や A − B₁X₁C₁ − B₂X₂C₂ などの行列式の最大および最小可能ランクを特定すること。
• ランク公式を応用して、逆順法則および行列方程式の整合性に関する必要十分条件を導出すること。
• 三角ブロック行列の極値ランク補完を構成的に提供すること。

提案手法

• ムーア・ペネロープ、ドレイジン、群、重み付きムーア・ペネロープ逆行列を含む行列式の一般化されたランク公式を導出する。
• ブロック行列の分解とスチェュール補行列の技法を用いて、複雑な行列式のランクを表現する。
• Y が X の核空間に属するとき r(X) = r([X, Y]) − r(Y) などのランク恒等式を適用し、ブロック構造下でのランク加法性を活用する。
• 帰納的技法を用いて、変数の上三角ブロック行列を含む式の極値ランクを計算する。
• A − BXC 及び関連式の最大および最小ランクの公式を、ブロック行列形式への変換によって確立する。
• 部分行列および射影子（例：EA = I − AA†）を含むランク等式を用いて、行列恒等式の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化逆行列について、逆順法則 (ABC)† = C†B†A† が成り立つ条件は何か？
• RQ2 X が変数の上三角ブロック行列であるとき、行列式 A − BXC の最大および最小ランクは何か？
• RQ3 行列方程式 B₁XC₁ + B₂YC₂ = A が解を持つのはいつか？ また、その解行列の極値ランクは何か？
• RQ4 ブロック行列が指定された上三角ブロック構造を持つ一般化逆行列を有するための条件は何か？
• RQ5 一般化逆行列を含むスチェュール補行列および行列の和の極値ランクをどのように特定できるか？

主な発見

• A − BXC の最大ランクは、A, B, C の部分行列を含む一連の行列ランク表現の最小値として与えられる。
• A − BXC の最小ランクは、ブロック行列変換から導かれる、特定の部分行列のランクの和から重複部分行列のランクの和を引いたものとして表現される。
• 行列方程式 BXC = A が整合的であるための必要十分条件は、A の像空間が B の像空間に含まれ、A^T の像空間が C^T の像空間に含まれ、かつ特定の部分行列のランク条件が満たされることである。
• 上三角ブロック行列 A が上三角ブロック内部逆行列を持つための必要十分条件は、すべての k = 1, ..., p−1 に対して r(A) = r(Q₁ₖ) + r(Qₖ₊₁,ₚ) − r(Qₖ₊₁,ₖ) が成り立つことである。
• A − BXC における最大または最小ランクを達成する上三角ブロック行列 X が一意であるための必要十分条件は、関連ブロック行列の対角ブロックに関する特定のランク条件が満たされることである。
• 本稿では、帰納的列・行・非対角ブロック埋め込み手順を用いて、三角ブロック行列の極値ランク補完を明示的に構成する手法を提供する。