[論文レビュー] Rank gradient, cost of groups and the rank versus Heegaard genus problem

Miklós Abért, Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、残留有限群のランク勾配と、そのコセットツリーの境界空間への作用のコストの間の深い関係を確立する。Farber鎖に対して、ランク勾配は作用のコストから1を引いたものに等しいことを証明し、これにより、ランク対ヘーガードジャンル予想と位相的力学における固定コスト問題が同時に成り立つことは不可能であることを示し、算術的双曲3次元多様体においてこの予想が成立しない強力な証拠を提示する。

ABSTRACT

We study the growth of the rank of subgroups of finite index in residually finite groups, by relating it to the notion of cost. As a by-product, we show that the `Rank vs. Heegaard genus' conjecture on hyperbolic 3-manifolds is incompatible with the `Fixed Price problem' in topological dynamics.

研究の動機と目的

• Farber鎖を通じて残留有限群におけるランク勾配とコストの関係を調査すること。
• 位相的力学におけるランク対ヘーガードジャンル予想と固定コスト問題の間の矛盾を解消すること。
• 固定コスト問題が成り立つならば、双曲3次元多様体におけるヘーガードジャンルとランクの比が任意に大きくとれるということを示すこと。
• SL₂(ℂ)における算術的格子に対して、合同部分群に沿ってランク勾配が消えること、したがってランクの成長が部分線形的であることを示すこと。
• 算術的双曲3次元多様体の漸近的領域において、ランク対ヘーガードジャンル予想が成立しない証拠を提供すること。

提案手法

• 群 Γ と Farber鎖 (Γₙ) に対して、ランク勾配 RG(Γ, (Γₙ)) を、n→∞ のときの (d(Γₙ)−1)/[Γ:Γₙ] の極限として定義する。
• コセットツリー T(Γ, (Γₙ)) 及びその境界 ∂T を導入し、Γ作用と正規化されたハール測度を備える。
• ランク勾配が境界 ∂T 上の作用のコストから1を引いたものに等しい、すなわち RG(Γ, (Γₙ)) = cost(E)−1 を確立する。
• Lackenby の結果（算術的格子の合同塔における性質 (τ) と線形的ヘーガードジャンル成長）を用いる。
• コスト–ランク勾配の等式を用いて、コストが鎖に依存しないならば、ランクはジャンルに対して部分線形的に成長することを示す。
• コスト−1 の乗法的性質を仮定することで、ランク勾配が Farber 鎖の選択に依存しないことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残留有限群のランク勾配は、Farber 鎖の選択に依存するか？
• RQ2 固定コスト問題が肯定的解決を受けるならば、双曲3次元多様体におけるランク対ヘーガードジャンル予想は成立しうるか？
• RQ3 境界空間への群作用のコストは、有限指数部分群のランクの漸近的成長と関係があるか？
• RQ4 算術的双曲3次元多様体では、ヘーガードジャンルと基本群のランクの比が任意に大きくとれるか？
• RQ5 可測作用のコストは、有限指数部分群への移行において乗法的に振る舞うか？

主な発見

• Farber鎖に関する群のランク勾配は、コセットツリーの境界における作用のコストから1を引いたものに等しい。
• SL₂(ℤ[i]) のような算術的格子では、合同部分群に沿ってランク勾配が消えるため、関連する作用のコストは1である。
• 固定コスト問題が成り立つならば、双曲3次元多様体におけるヘーガードジャンルとランクの比は、無限大にまで拡大しうる。
• ランク対ヘーガードジャンル予想に対する反例は、算術的双曲3次元多様体の漸近的領域において、一般に生じる。
• この結果は、Lackenby の合同塔における線形的ヘーガードジャンル成長と、ゼロのランク勾配が示唆する部分線形的ランク成長を組み合わせることで得られる。
• Kechris と Miller が提起した「SL(2,D) がコスト1であるのは D が無限個の単位を持つときである」という問いに対して、負の答えを与える。本論文では、このような群に対してコスト1であることを示した。