[論文レビュー] Rank-metric codes over arbitrary Galois extensions and rank analogues of Reed-Muller codes

Daniel Augot, Alain Couvreur+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$G = \mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$ である群代数 $\mathbb{L}[G]$ の部分空間としてモデル化することにより、任意のガロア拡大におけるランク距離符号のフレームワークを導入する。多変数のスキュー多項式を用いてランク距離符号のリード・ムラー符号の類似物を構成し、零点の数に関する境界を得るためのアロン–フーレディ定理のランク距離版を確立する。

ABSTRACT

This paper extends the study of rank-metric codes in extension fields $\\mathbb{L}$ equipped with an arbitrary Galois group $G = \\mathrm{Gal}(\\mathbb{L}/\\mathbb{K})$. We propose a framework for studying these codes as subspaces of the group algebra $\\mathbb{L}[G]$, and we relate this point of view with usual notions of rank-metric codes in $\\mathbb{L}^N$ or in $\\mathbb{K}^{N\ imes N}$, where $N = [\\mathbb{L} : \\mathbb{K}]$. We then adapt the notion of error-correcting pairs to this context, in order to provide a non-trivial decoding algorithm for these codes. We then focus on the case where $G$ is abelian, which leads us to see codewords as elements of a multivariate skew polynomial ring. We prove that we can bound the dimension of the vector space of zeroes of these polynomials, depending of their degree. This result can be seen as an analogue of Alon-F\\"uredi theorem -- and by means, of Schwartz-Zippel lemma -- in the rank metric. Finally, we construct the counterparts of Reed-Muller codes in the rank metric, and we give their parameters. We also show the connection between these codes and classical Reed-Muller codes in the case where $\\mathbb{L}$ is a Kummer extension.

研究の動機と目的

• 巡回拡大を超えるランク距離符号の一般化を、任意のガロア群を用いて行う。
• ランク距離符号を研究するための群代数フレームワーク（$\mathbb{L}[G]$）を構築する。
• この一般設定においてエラー訂正ペアの理論を拡張し、デコーディングを可能にする。
• スキーュー多項式環を用いてランク距離版のリード・ムラー符号を構築する。
• 多変数スキーュー多項式の零点集合の境界を得るためのランク距離版のアロン–フーレディ定理を確立する。

提案手法

• ランク距離符号を $\mathrm{End}_{\mathbb{K}}(\mathbb{L}) \cong \mathbb{L}[G]$ の同型を活用して、群代数 $\mathbb{L}[G]$ の部分空間として表現する。
• エラー訂正ペアの手法を一般のガロア拡大設定に適合させ、デコーディングを可能にする。
• $G$ がアーベル群の場合、符号語を多変数スキーュー多項式環の元としてモデル化する。
• ガロア群の構造を用いて、リード・ムラー符号に類似した評価に基づく符号を定義する。
• シュワーツ–ジッペル補題のランク距離版を用いて、スキーュー多項式の零点数の境界を確立する。
• $\mathbb{K}$ 内の単位根における低次の単項式の評価により、$\bm{\theta}$-リード・ムラー符号を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群代数構造を用いて、任意のガロア拡大におけるランク距離符号を体系的に研究できるか？
• RQ2 非巡回ガロア拡大におけるデコーディングを可能にするために、エラー訂正ペアをどのように一般化できるか？
• RQ3 多変数多項式の零点集合の境界を得るためのランク距離版のアロン–フーレディ定理は何か？
• RQ4 ハミング距離版と類似するパラメータを持つランク距離版のリード・ムラー符号を構築できるか？
• RQ5 $\mathbb{L}$ がカマーユー拡大であるとき、$\bm{\theta}$-リード・ムラー符号と古典的リード・ムラー符号との関係は何か？

主な発見

• 任意のガロア拡大 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ におけるランク距離符号は、自然に群代数 $\mathbb{L}[G]$ の部分空間として表現できる。
• 著者らは、$\theta_i$ の総次数 $\leq r$ の単項式によって生成される $\mathbb{L}$-部分空間として $\bm{\theta}$-リード・ムラー符号を構築し、古典的リード・ムラー符号と類似したパラメータを持つ。
• 多変数スキーュー多項式の零点数の境界を得るためのランク距離版のアロン–フーレディ定理が確立された。
• $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ がカマーユー拡大であるとき、$\bm{\theta}$-リード・ムラー符号は、単位根における評価により、$\mathbb{K}$ 上の古典的リード・ムラー符号と同型であることが示された。
• $\bm{\theta}$-リード・ムラー符号の生成行列は、古典的リード・ムラー符号の生成行列と、$\mathbb{K}$-基底から導かれる対角行列の積として示された。
• この構成により、既知のパラメータとデコーディングの可能性を有するランク距離符号を体系的に定義する方法が得られたが、最小距離の半分までデコーディングする実用的アプローチは未解決の問題のままである。