[論文レビュー] Rank One Approximation as a Strategy for Wordle

Michael Bonthron|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2022

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ひとこと要約

この論文は、ランク1の近似と顕在的意味的インデクシングを用いて、残りの解答候補プールから最も代表的な単語を選択する数学的戦略を提案する。単語をベクトルに変換し、主要固有ベクトルを計算することで、次の手として最も近い実際の英単語を選定する。'SLATE' を最初の手として使用した場合、平均4.04手で、98.7%のクリア率を達成する。

ABSTRACT

This paper presents a mathematical method of playing the puzzle game Wordle. In Wordle, the player has six tries to guess a secret word. After each guess the player is told how their guess compares to the secret word. With the available information the player makes their next guess. This paper proposes combining a rank one approximation and latent semantic indexing to a matrix representing the list of all possible solutions. Rank one approximation finds the dominant eigenvector of a matrix of words, and latent semantic indexing reveals which word is closest to the dominant eigenvector. The word whose column vector is closest to the dominant eigenvector is chosen as the next guess. With this method the most representative word of the set of all possible solutions is selected. This paper describes how a word can be converted to a vector and the theory behind a rank one approximation and latent semantic indexing. This paper presents results demonstrating that with an initial guess of "SLATE" the method solves the puzzle in 4.04 guesses on average, with a success rate of 98.7%

研究の動機と目的

• ヒューリスティック的または頻度に基づくアプローチを超えて、Wordleにおける最適な手を選ぶ数学的に厳密な戦略を開発すること。
• 各ターンにおける可能な解答の集合から最も代表的な単語を特定するために、ランク1の近似と顕在的意味的インデクシングを適用すること。
• 平均手数とクリア率の観点から、この手法のパフォーマンスを評価すること、特に最適な初期手を組み合わせた場合に注目すること。
• 体系的でベクトルベースのアプローチが、ランダムまたは直感に基づく推測を上回ることを示すこと。

提案手法

• 各5文字の単語を、各位置における文字の有無を示すバイナリーベクトルに変換し、すべての可能な解答の行列を構築する。
• 特異値分解（SVD）を適用してランク1の近似を計算し、最も代表的な単語を表す主要固有ベクトルを抽出する。
• 顕在的意味的インデクシングを用いて、ユークリッド空間において主要固有ベクトルに最も近い実際の英単語を特定する。
• 各手の後でフィードバック（緑、黄、グレーの文字）に基づいて解答候補集合を更新し、このプロセスを繰り返し適用する。
• 得られた最も近い単語を次の手として選定し、それが現在の解答候補集合内に含まれることを保証する。
• 2,315の公式Wordle解答に対してこの手法をテストし、パフォーマンスを評価するために最初の手に'SLATE'を使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単語行列のランク1近似が、Wordleのパフォーマンスを向上させる代表的な単語を特定できるか？
• RQ2 ランク1近似と顕在的意味的インデクシングを組み合わせることで、ランダムまたはヒューリスティック手法よりも優れた手の選定が可能か？
• RQ3 この数学的戦略を用いる場合、最適な初期手は何か？
• RQ4 平均手数とクリア率の観点から、この手法のパフォーマンスは人間の直感や他のアルゴリズム的手法と比べてどうか？

主な発見

• 最初の手に'SLATE'を使用した場合、この手法は1ゲームあたり平均4.04手で、ランダムプレイの4.59手よりも顕著に減少する。
• 最初の手に'SLATE'を使用した場合、クリア率は98.7%に達し、ランダム選択の88.2%を上回る。
• 位置情報をベクトル変換に組み込んだ戦略は、位置を無視した手法よりも優れており、平均手数とクリア率の両方を向上させる。
• テストされた初期手の中で、'SLATE'が最も優れたパフォーマンスを示し、98.7%のクリア率と4.04の平均手数を達成し、他の代替案よりも最大5.6ポイントのクリア率で優位だった。
• この手法は、すべての指標においてランダムな推測を常に上回り、平均手数を最大0.55回減少させ、クリア率を最大10.5ポイント向上させた。
• 優れたパフォーマンスを発揮する一方で、モデルはあまり一般的でない単語（例：'THROE' は 'TROPE' よりも優先される）を提案する可能性があり、数学的最適性と人間の直感の間にはギャップが存在する。