[論文レビュー] Rank One Hilbert Geometries

Mitul Islam|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、射影空間内の正則凸領域にヒルバート計量を備えたランク1ヒルバート幾何学を、自己同型群内の収縮要素としてランク1等長写像を定義することによって導入する。ランク1等長写像を含む離散部分群は、いずれも virtually 級数的であるか、または非一様的双曲的であることが示され、これにより、準同型写像空間、ランク1等長写像の一般性、閉測地線の数え上げへの応用が可能になる。

ABSTRACT

We develop a notion of rank one properly convex domains (or Hilbert geometries) in the real projective space. This is in the spirit of rank one non-positively curved Riemannian manifolds and CAT(0) spaces. We define rank one isometries for Hilbert geometries and characterize them as being equivalent to contracting elements (in the sense of geometric group theory). We prove that if a discrete subgroup of automorphisms of a Hilbert geometry contains a rank one isometry, then the subgroup is either virtually cyclic or acylindrically hyperbolic. This leads to several applications like infinite-dimensionality of the space of quasi-morphisms, counting results for conjugacy classes and genericity results for rank one isometries.

研究の動機と目的

• 非正曲率リーマン多様体における一般化を含め、ヒルバート幾何学におけるランク1等長写像を定義し、特徴づけること。
• ヒルバート幾何学の自己同型群における収縮要素としてのランク1等長写像の動的特徴づけを確立すること。
• ランク1等長写像を含む自己同型群の離散部分群が、いずれかのvirtually 級数的または非一様的双曲的であることを証明すること。
• この理論を応用し、第二有界コホロロジーの計算、ランク1等長写像の一般性の研究、およびこのような幾何学における閉測地線の数え上げを行うこと。

提案手法

• ランク1等長写像を、半三角形に含まれない軸（等長写像によって保存される射影的線分）の存在を用いて定義し、CAT(0)空間におけるランク1の概念を一般化する。
• ベストヴィナ＝フジワラの意味での収縮要素の概念を用いて、ヒルバート幾何学におけるランク1等長写像を特徴づける。
• ランク1等長写像が収縮要素であること、およびその逆も成り立つことを証明し、ヒルバート幾何学の文脈において、両者の概念の同値性を確立する。
• 非一様的双曲性の理論を適用し、Aut(Ω) の任意の離散部分群がランク1等長写像を含むならば、それがいずれかのvirtually ℤ であるか、または非一様的双曲的であることを示す。
• 射影写像 π_A と ρ_A-写像を用いて、測地線パス系 (X, PS) における収縮を定義・分析し、スィストとベストヴィナ＝フジワラの収縮の定義を結びつける。
• 有界コホロロジーおよび準同型写像理論の結果を応用し、このような群上の準同型写像空間を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C²正則性やヤコビ場が存在しない非厳密凸ヒルバート幾何学において、ランク1等長写像の適切な一般化は何か？
• RQ2 特に収縮要素との関係において、動的および幾何的性質を用いて、ヒルバート幾何学におけるランク1等長写像をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ランク1等長写像を含む Aut(Ω) の離散部分群が非一様的双曲的であるための条件は何か？
• RQ4 この分類の結果が、このような群の第二有界コホロロジーおよび準同型写像空間に与える影響は何か？
• RQ5 ランク1等長写像は離散部分群 Aut(Ω) の極限集合において一般にどのように振る舞うか？また、閉測地線の成長に関して何が言えるか？

主な発見

• ヒルバート幾何学 Ω におけるランク1等長写像は、Aut(Ω) の収縮要素にちょうど一致し、ランク1条件の動的特徴づけが確立される。
• ランク1等長写像を含む離散部分群 Γ ≤ Aut(Ω) は、いずれかのvirtually 級数的または非一様的双曲的であることが示され、強い構造的二分法が得られる。
• このような群上の準同型写像空間は無限次元であることが示され、第二有界コホロロジーが準同型写像空間に同型であることから明らかになる。
• ランク1等長写像は、やや弱い動的仮定の下で、群作用の極限集合において稠密であるという意味で一般に成立する。
• Ω/Γ における長さ ≤ T の閉測地線の数は、T に関して指数関数的に増加し、非一様的双曲性およびシャドーイング性と整合的である。
• 射影写像とパス系を用いて、ヒルバート幾何学の文脈において、スィストの収縮とベストヴィナ＝フジワラの収縮の概念の同値性が確立された。