[論文レビュー] Rank Two Bound Entangled States Do Not Exist

Paweł Horodecki, John A. Smolin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 1999

Quantum Information and Cryptography被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、状態のランク、周辺ランク、および精錬可能性の間の関係を確立することで、ランク2の束縛もつれ状態が存在しないことを証明する。主な貢献は、ランクnの束縛もつれ状態は高々n×nのヒルベルト空間上に支持されなければならないという構造的制約を示したことである。これによりランク2の例が除外され、純粋もつれ状態と積状態の混合状態は常に精錬可能であることが示される。

ABSTRACT

We explore the relation between the rank of a density matrix and the existence of bound entanglement. We show a relation between the rank, marginal ranks, and distillability of a mixed state and use this to prove that any rank n bound entangled state must have support on no more than an n øtimes n Hilbert space. A direct consequence of this result is that there are no bound entangled states of rank two. We explore the idea of how many pure states are needed in a mixture to cancel the distillable entanglement of a Schmidt rank n pure state and provide a lower bound of n-1. We also prove that a mixture of a non-zero amount of any pure entangled state with a pure product state is distillable.

研究の動機と目的

• 密度行列のランクと束縛もつれの存在との関係を調査すること。
• ランク2の束縛もつれ状態が存在できるかどうかを特定すること。
• ランクnの束縛もつれ状態のサポートに関する構造的制約を確立すること。
• スミードランクnの純粋状態の精錬可能もつれを相殺するために必要な最小の純粋状態の数を調査すること。
• 純粋もつれ状態と純粋積状態を含む混合状態の精錬可能性を分析すること。

提案手法

• 混合量子状態のランク、その縮約密度行列（周辺ランク）のランク、および精錬可能性との間の関係を導出する。
• このランク-周辺ランク-精錬可能性の関係を用いて、ランクnの束縛もつれ状態に必要なヒルベルト空間次元を制約する。
• この制約を適用して、ランクnの束縛もつれ状態は高々n×nのヒルベルト空間上に支持されなければならないことを示す。
• 精錬可能性の概念と純粋状態のスミード分解を含む、もつれ理論の道具を用いる。
• スミードランクnの純粋状態の精錬可能もつれを相殺するために必要な最小の純粋状態の数を分析し、下界n−1を導出する。
• 任意の非ゼロの純粋もつれ状態と純粋積状態の混合状態が常に精錬可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の量子系において、ランク2の束縛もつれ状態は存在できるか？
• RQ2 ランクnの束縛もつれ状態に必要なヒルベルト空間次元の最大値は何か？
• RQ3 スミードランクnの純粋状態の精錬可能もつれを相殺するために、混合状態に必要な純粋状態の数はいくつか？
• RQ4 純粋もつれ状態と純粋積状態の混合状態は常に精錬可能か？
• RQ5 与えられた純粋もつれ状態の精錬可能性を相殺するために必要な最小の純粋状態の数は何か？

主な発見

• ランクと周辺ランクの制約が精錬可能性に及ぼす影響により、ランク2の束縛もつれ状態は存在しないことが証明された。
• 任意のランクnの束縛もつれ状態は、高々n×nのヒルベルト空間上に支持されなければならない。
• スミードランクnの純粋状態の精錬可能もつれを相殺するために必要な最小の純粋状態の数は、少なくともn−1である。
• 任意の非ゼロの純粋もつれ状態と純粋積状態の混合状態は、常に精錬可能である。
• ランク、周辺ランク、および精錬可能性を結ぶ構造的制約は、低ランク状態における束縛もつれの除外に強力なツールを提供する。