[論文レビュー] Rank two globally generated vector bundles with c_1 \leq 5

Ludovica Chiodera, Philippe Ellia|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 3$ および $c_1 \leq 5$ である射影空間 $\mathbb{P}^n$ 上の局所的に生成されるランク2ベクトル束を分類する。$n \geq 4$ の場合、すべてのこのような束はラインバンドルの直和に分解する。$n = 3$ の場合、$c_1 \in \{2,4,5\}$、$c_2 \in \{2,5,6,7,8,8,10,12\}$ の特定のチェーン類に対して非分解束が存在するが、$(c_1,c_2) = (5,12)$ の場合については未解決のままである。分類は、リベーション理論およびリベーションと安定性条件を用いたコhomオロジー的制約に依拠している。

ABSTRACT

We classify rank two globally generated vector bundles on P^n, n > 2, with c_1 \leq 5. The classification is complete but for one case (n = 3, c_1 = 5, c_2 = 12)

研究の動機と目的

• 局所的に生成されるランク2ベクトル束を $\mathbb{P}^n$ 上で $n \geq 3$ および $c_1 \leq 5$ について分類すること。
• このような束のうち、非分解的であるものとその存在条件を特定すること。
• $\mathbb{P}^3$ における $(c_1, c_2) = (5, 12)$ の場合の存在問題を解明すること、これは未解決のままである。
• $n \geq 4$ に対して完全な分類を確立し、すべてのこのような束が分解することを示すこと。
• 一般切断のゼロ集合としての関連曲線をリベーション理論および canonical 条件を用いて特徴付けること。

提案手法

• 非分解的 $E$ に対して、正確列 $0 \to \mathcal{O} \to E \to \mathcal{I}_C(c_1) \to 0$ を用い、$C$ を $\omega_C(4 - c_1) \simeq \mathcal{O}_C$ を満たす滑らかな曲線とする。
• リベーション理論を用い、ゼロ集合の曲線 $C$ を、2つの曲面の完全交差を用いて別の曲線 $Y$ にリンクする。
• 安定束のためのシュバルツェンベルガー条件 $c_2(c_2 + 2) \equiv 0 \pmod{12}$ を用い、可能な $c_2$ 値を制限する。
• コホモロジー的消滅および $\mathcal{I}_C(c_1)$ の基点自由性条件を用い、存在を制約する。
• 不連続な直線または円錐曲線のリベーションによる例の構成により、所望の $c_1, c_2$ を持つ局所的に生成される束を生成する。
• 特に $c_1 = 5$ の場合の正規化束と安定性の分析により、特定の状況で非分解束が存在しないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 4$ の場合、$c_1 \leq 5$ である局所的に生成されるランク2ベクトル束の中で非分解的であるものは存在するか？
• RQ2 $c_1 \leq 5$ および $c_1 = 5$ の $\mathbb{P}^3$ において、$(c_1, c_2)$ のどの組が局所的に生成されるランク2ベクトル束の非分解的構造を許容するか？
• RQ3 $\mathbb{P}^3$ 上に $c_1 = 5$、$c_2 = 12$ である局所的に生成されるランク2ベクトル束が存在するか？
• RQ4 このような束の一般切断のゼロ集合曲線 $C$ に課される幾何的制約は何か？
• RQ5 このような束の存在は、コホモロジー的またはリベーション理論的基準によって特定できるか？

主な発見

• $n \geq 4$ の場合、$c_1 \leq 5$ である局所的に生成されるランク2ベクトル束はすべて、2つのラインバンドルの直和に分解する。
• $\mathbb{P}^3$ において、非分解的で局所的に生成されるランク2ベクトル束は、$c_1 \in \{2,4,5\}$ および特定の $c_2$ 値：$(2,2)$、$(4,5)$、$(4,6)$、$(4,7)$、$(4,8)$、$(5,8)$、$(5,10)$、$(5,12)$ のみに存在する。
• $c_1 = 4$、$c_2 = 8$ の場合、ゼロ集合の曲線 $C$ は既約であるか、2つの滑らかな円錐曲線の不連続和である可能性がある。
• $c_1 = 5$、$c_2 = 8$ または $10$ の場合、このような束は存在し、$s$ 個の不連続な直線（$s=2,3$）を $s$ 個の不連続な円錐曲線にリベーションすることで構成される。
• $(c_1, c_2) = (5,12)$ の場合、まだ未解決のままである：$\omega_X(-1)$ が基点自由である13次10 genus の曲線 $X$ が存在するが、$h^0(\mathcal{I}_X(5)) \geq 3$ である条件を確認できない。
• ホロックス＝マムフォード束は、$c_1 = 5$、$c_2 = 6$ の場合の候補として除外される。これは非局所的に生成されるためであり、$c_2 = 4$ はシュバルツェンベルガー条件により除外される。