[論文レビュー] Ranks for families of all theories of given languages

N. D. Markhabatov, S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

semigroups and automata theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の言語上での完全一階理論の族に対してランクと次数の体系を導入し、モーリー・ランクを一般化してその族の複雑さを測定する。ランクが有限であるための必要十分条件は、言語に0-arityおよび1-arityの述語および定数が有限個しか含まれない場合に限ることを確立している。それ以外の場合はランクが無限大となり、これは完全に超越的（totally transcendental）な族を特徴づけ、固定された有限または無限の濃度のモデルを持つ理論族へのフレームワークの応用も行っている。

ABSTRACT

For families of all theories of arbitrary given languages we describe ranks and degrees. In particular, we characterize (non-)totally transcendental families. We apply these characterizations for the families of all theories of given languages, with models of given finite or infinite cardinality.

研究の動機と目的

• 任意の言語上での完全一階理論族に対してランクと次数を定義・特徴づけ、モーリー・ランクを理論族の文脈に拡張すること。
• 基礎となる言語の構造に基づいて、そのような理論族が（非）完全に超越的である条件を同定すること。
• 固定された有限または無限の濃度のモデルを持つ理論族に対して、ランク・次数フレームワークを適用し、その複雑さを分析すること。
• 理論族のランクと関連するブール代数のカントール–ベンドイクソンランクとの間の関係を確立し、モデル理論的および位相的不変量を結びつけること。

提案手法

• 高ランクの部分族をもつ無限個の互いに矛盾する文が存在するという事実に基づく、超限階層を用いた理論族に対するランク関数 RS(·) を定義する。
• 一意的な集積点を保証し、近似族の構造を制御するための e-最小性 の概念を導入する。
• 理論族に関連する超原子的ブール代数のカントール–ベンドイクソンランクおよび次数を用いて、RS(·) および ds(·) を特徴づける。
• 無限個の述語、定数、または関数記号に対する独立な真理値割り当てを用いて、無限の2分木の文を構成し、特定の状況での無限ランクを示す。
• ランク関数の単調性を用いて、有限モデルまたは無限モデルを持つ理論の部分族同士のランクを比較する。
• 完全理論の位相空間における孤立型および非孤立型の性質を活用し、ランクと次数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 言語 Σ に対して、Σ のすべての完全理論 TΣ の族が完全に超越的（つまり、有限ランクを持つ）であるための条件は何か？
• RQ2 言語 Σ のどの構造的特徴が、すべての完全理論の族が無限ランクを持つ原因となるか？
• RQ3 固定された有限または無限の濃度のモデルを持つ理論族のランクと次数は、言語のシグネチャにどのように依存するか？
• RQ4 理論族の RS-ランクと関連するブール代数のカントール–ベンドイクソンランクとの関係は何か？
• RQ5 無限個の述語、定数、または関数記号を含む言語において、無限の2分木の文を構成することで無限ランクを示せるか？

主な発見

• 言語 Σ のすべての完全理論の族が有限ランクであるための必要十分条件は、Σ に0-arityおよび1-arityの述語が有限個、かつ定数記号が有限個しか含まれない場合に限る。
• Σ に任意の2-arity以上の述語、1-arity以上の関数記号、または無限個の述語、定数、関数記号が含まれるならば、Σ のすべての完全理論の族は無限ランクをとる。
• 任意の言語 Σ に対して、n 要素のモデルを持つすべての完全理論の族は、Σ が有限または n=1 かつ有限個の述語を持つ場合に限りランク0である。それ以外の場合はランクは無限大である。
• 無限モデルを持つすべての完全理論の族が有限ランクをとるための必要十分条件は、Σ が有限であり、かつ0-arityおよび1-arityの述語および定数のみを含む場合に限る。それ以外の場合はランクは無限大である。
• 理論族の RS-ランクは、関連するブール代数のカントール–ベンドイクソンランクと一致し、次数は導出階層における最大ランクの点の数に一致する。
• 完全に超越的な族では、個々の理論のランクは、1-arityの述語に関するモデルの無限部分集合の数によって決定される。