[論文レビュー] Rapid decay and Baum-Connes for large type Artin groups

Laura Ciobanu, Derek F. Holt+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の組合せ的条件（特に (3,3,m) のラベルをもつ三角形を含まない）の下で、大形型 Artin 群に対して急速減少（RD）性質を確立し、その群が特定の構造的制約（3生成、三角形なし、適切な辺の向き付け）を満たす場合、係数なしの Baum-Connes 予想を満たすことを証明する。これらの結果により、すべての超大形型 Artin 群および多くの大形型群に対して、RD および Baum-Connes 予想の有効性が拡張される。

ABSTRACT

We prove that many Artin groups of large type satisfy the rapid decay property, including all those of extra-large type. For many of these, including all 3-generator groups of extra-large type, a result of Lafforgue applies to show that the groups satisfy the Baum-Connes conjecture without coefficients. Our proof of rapid decay combines elementary analysis with combinatorial techniques, and relies on properties of geodesic words in Artin groups of large type that were observed in an earlier publication by two of the authors of this current article.

研究の動機と目的

• 定義グラフに特定の三角形配置を含まない大形型 Artin 群に対する急速減少（RD）性質の確立。
• Lafforgue の定理が Baum-Connes 予想に適用可能となるように、RD 条件を満たす Artin 群の広いクラスへの適用を拡張すること。
• Geodesic 単語の構造と Artin 群における長さを減少させる列に依存する、組合せ的および解析的な RD の証明。
• Artin 群が係数なしの Baum-Connes 予想を満たすための十分条件の特定（3生成、三角形なし、辺の向き付け可能など）。
• ブレイド群および右角 Artin 群から既知の RD および Baum-Connes の結果を、超大形型を含むより広いクラスの Artin 群へ一般化すること。

提案手法

• 大形型 Artin 群における geodesic 単語に関する初等的解析と組合せ的技法を組み合わせ、[17] の既存の単語構造に関する結果を援用する。
• 群上の長さ関数 ℓ を用いて Sobolev 範数 ||·||_{2,r,ℓ} を定義し、それらを演算子ノルム ||·||_* と比較する。RD 不等式 ||φ||_* ≤ C||φ||_{2,r,ℓ} を用いる。
• 命題 7.1 および 7.3 を用いて、群元の geodesic 因数分解を分析し、特に右および左の因子の構造に注目する。
• 単語における長さを減少させる列についてのケース解析を実施し、特定の構成（例：m_{ij} ≥ 4 を満たす生成子 a, b, c を含むもの）が中間部を通過するのを防ぎ、geodesic 性を保つことを示す。
• パラメータ（例：c^q および e''₁）を固定することにより、集合 S(g,k,l) 内の三重組 (f₁, Δᵢⱼʳ, f₂) の数を P₁(k) および P²ᵢʲ(k) という多項式の境界で抑え、このような因数分解の数が有限であることを示す。
• Lafforgue の結果（RD に加え適切な群作用が存在すれば、係数なしの Baum-Connes 予想が成立）を、RD 条件を満たす Artin 群に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義グラフに (3,3,m) のラベルをもつ三角形を含まない大形型 Artin 群は、急速減少性質を満たすか？
• RQ2 急速減少性質が Artin 群に対して係数なしの Baum-Connes 予想を導くための条件は何か？
• RQ3 Artin 群における geodesic 単語の組合せ的構造を用いて、因数分解の数を抑え、RD 条件を検証できるか？
• RQ4 すべての超大形型 Artin 群は急速減少性質を満たすか？
• RQ5 3生成、三角形なし、辺の向き付け可能といった構造的制約は、Artin 群が係数なしの Baum-Connes 予想を満たすために十分か？

主な発見

• すべての超大形型 Artin 群は、定理 1.1 の三角形除外条件を満たすため、急速減少性質を満たす。
• 定義グラフに有限 m ≥ 3 に対して (3,3,m) の辺ラベルをもつ三角形を含まないすべての大形型 Artin 群は、急速減少性質を満たす。
• 3生成で三角形条件を満たす大形型 Artin 群では、RD と Lafforgue の定理の組み合わせにより、係数なしの Baum-Connes 予想が成立する。
• 定義グラフが三角形を含まない Artin 群は、系 1.2 の条件を満たすため、係数なしの Baum-Connes 予想を満たす。
• 定義グラフの辺が、2 種類の特定の部分グラフ型を避けるように向き付け可能である場合、その群は係数なしの Baum-Connes 予想を満たす。
• 群元の geodesic 因数分解の数は k についての多項式で抑えられ、有限個の数え上げが可能となり、組合せ的制御による RD 条件の検証が可能になる。