[論文レビュー] Rapid Polynomial Approximation on Stein Manifolds

Auðunn Skúta Snæbjarnarson|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特定の曲率条件を満たす擬補強的エクhaustion関数を備えたシュタイン多様体に対して、Bernstein-Walsh-Siciakの定理およびWiniarskiの定理を一般化する。$\psi$-多項式による多項式近似の速度と正則関数の成長を結びつける鋭い定量的推定を確立し、関数が特定のレベル集合（極値関数 $V_{K, ho}$ で定義される）を超えて正則に拡張可能であるとき、すなわちそのときのみ、急速な近似が発生することを示す。曲率パラメータによって制御される明確な減衰率が得られる。

ABSTRACT

In this paper we generalize to a certain class of Stein manifolds the Bernstein-Walsh-Siciak theorem which describes the equivalence between possible holomorphic continuation of a function $f$ defined on a compact set $K$ in $\mathbb{C}^N$ to the rapidity of the best uniform approximation of $f$ on $K$ by polynomials. We also generalize Winiarski's theorem which relates the growth rate of an entire function $f$ on $\mathbb{C}^N$ to its best uniform approximation by polynomials on a compact set.

研究の動機と目的

• 複素数空間 $\mathbb{C}^N$ における多項式近似に関する古典的Bernstein-Walsh-Siciakの定理を、特定の擬補強的エクhaustion関数を備えたシュタイン多様体のクラスへ拡張すること。
• 整関数の成長とそれらの多項式による近似の関係を示すWiniarskiの定理を、より広いクラスの多様体へ一般化すること。
• $\psi$-多項式がシュタイン多様体上の正則関数空間 $\mathcal{O}(X)$ のフレシェ空間において稠密であるための十分条件を確立すること。
• コンパクトで非多様極値的でない集合 $K$ に対して、一般化された $\psi$-Lelongクラスおよび関連する極値関数 $V_{K,\psi}$ を定義し、それらを分析すること。

提案手法

• シュタイン多様体 $X$ 上に $\psi$-多項式の概念を導入し、擬補強的エクhaustion関数 $\psi$ を用いた点毎の成長制御によって定義する。
• $\frac{i}{2}\partial\bar{\partial}e^{\psi}$ の $(1,1)$-形式に曲率条件を課すことにより、良好なカットオフ関数の存在と $L^2$-推定の制御を保証する。
• $\psi$ に関連する関数 $\varphi$ の部分レベル集合に台を持つカットオフ関数 $\chi_t$ を用いた $\bar{\partial}$-技法を用い、近似誤差 $d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t)$ を推定する。
• $L^2$-推定を応用して、$t \cdot (d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t))^{\varrho/t}$ の $\limsup$ に対する境界を導出し、減衰率と関数 $f$ の成長を結びつける。
• リッチ補正子と正則化技法を用いて、初期関数 $\varphi$ が必要な条件を満たさない場合に対処し、摂動関数 $\varphi_\epsilon$ を通じて処理する。
• Zeriahiの抽象的Lelongクラスおよび極値関数 $V_{K,\psi}$ に依拠し、急速な近似に対応する正則拡張領域を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エクhaustion関数 $\psi$ にどのような曲率条件が課されると、シュタイン多様体上で $\psi$-多項式による急速な多項式近似が発生するか。
• RQ2 $\psi$-多項式による近似速度は、コンパクト集合 $K$ を超えて関数が正則に拡張可能であることにどのように関係するか。
• RQ3 Winiarskiの定理（整関数の成長とその多項式近似の関係）は、$S$-放物型シュタイン多様体へ一般化可能か。
• RQ4 $\psi$-多項式が $\mathcal{O}(X)$、すなわち多様体 $X$ 上の正則関数空間において稠密であるための条件は何か。
• RQ5 極値関数 $V_{K,\psi}$ は近似速度とどのように関係し、正則拡張を特徴付ける際に果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、$\limsup_{t\to\infty} t \cdot (d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t))^{\varrho/t} \leq e \cdot \varrho \cdot \sigma$ が成り立つための必要十分条件として、$f$ が集合 $\{z \in X : V_{K,\psi}(z) < \log(L)\}$ に正則に拡張可能であること（ある $L > 1$ に対して）であることを証明し、近似速度と正則拡張の間の鋭い関係を確立する。
• 近似速度はパラメータ $\varrho$ および $\sigma$ によって定量的に制御され、それぞれ $\|f\|_{\{\varphi \leq \log r\}}$ の成長と $\limsup$ の $\log \|f\|_{\{\varphi \leq \log r\}} / r^\varrho$ を制御する。
• $\psi$ が特別なエクhaustion関数であるとき、空間 $\mathcal{P}^\psi_t$ は次元が $\binom{N + nM}{N}$ で有界であるため、各 $\psi$-多項式に対して明確な $\psi$-次数が定義可能である。
• 証明により、$f$ が $\psi$-多項式によって急速に近似可能であるならば、$\|G\|_{\{V_{K,\psi} \leq \log r\}}$ は高々 $r^{\varrho} e^{\sigma r^{\varrho}}$ の割合で成長し、成長率 $\sigma$ は鋭いものであることが示される。
• 初期関数 $\varphi$ が曲率条件を満たさない場合でも、摂動関数 $\varphi_\epsilon$ を用い $\epsilon \to 0$ に近づけることで、近似基準の堅牢性が示される。
• 系として、極値関数 $V_{K,\psi}$ の振る舞いと $f$ の成長に基づき、$\mathcal{P}^\psi$ が $\mathcal{O}(X)$ に稠密であるための十分条件が確立される。