[論文レビュー] Rapidly computable viscous friction and no-slip rigid contact models

Evan Drumwright|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Coulomb摩擦モデルの高コストな複雑さを回避するため、粘性摩擦またはスリップなしの接触条件における計算効率の高いアルゴリズムを提示する。問題を正定値半定値線形補完問題（LCP）に再定式化することで、期待される時間計算量はO(m³ + m²n)に抑えられ、ソルバの失敗を低減し、ロボットの歩行や把持タスクにおけるシミュレーションを高速化する。

ABSTRACT

This article presents computationally efficient algorithms for modeling two special cases of rigid contact---contact with only viscous friction and contact without slip---that have particularly useful applications in robotic locomotion and grasping. Modeling rigid contact with Coulomb friction generally exhibits $O(n^3)$ expected time complexity in the number of contact points and $2^{O(n)}$ worst-case complexity. The special cases we consider exhibit $O(m^3 + m^2n)$ time complexity ($m$ is the number of independent coordinates in the multi rigid body system) in the expected case and polynomial complexity in the worst case; thus, asymptotic complexity is no longer driven by number of contact points (which is conceivably limitless) but instead is more dependent on the number of bodies in the system (which is often fixed). These special cases also require considerably fewer constrained nonlinear optimization variables thus yielding substantial improvements in running time. Finally, these special cases also afford one other advantage: the nonlinear optimization problems are numerically easier to solve.

研究の動機と目的

• Coulomb摩擦を伴う剛体接触をシミュレートする際の高い計算コスト（計算量がO(n³)に比例し、最悪ケースでは2^O(n)に達する）に対処すること。
• 純粋な粘性摩擦およびスリップなしの剛体接触という2つの特殊な接触ケースに対する計算的に効率的な代替手法を開発すること。
• Coulomb摩擦を含まない接触モデルにおける非線形最適化変数の数を削減し、接触ソルバの数値的安定性を向上させること。
• Coulomb摩擦モデルの複雑さを置き換えることで、ロボットの歩行や把持タスクにおけるより高速で信頼性の高いシミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 接触問題を混合線形補完問題（MLCP）として定式化し、行列の逆行列を用いた変数の非制約化によって、正定値半定値線形補完問題（LCP）に簡略化する。
• 得られたLCPを解くために、標準のCoulomb摩擦ソルバで用いられるcopositive-plus LCPよりも数値的により安定な、修正された投影加重双対（PPM）アルゴリズムを用いる。
• LCP定式化を、相対接線速度がゼロであるスリップなし接触および摩擦力が相対速度に比例する粘性摩擦という2つの特殊ケースに適用する。
• mを独立座標の数、nを接触点の数としたとき、時間計算量をO(m³ + m²n)として導出する。これにより、計算複雑度が接触点の数に依存しなくなる。
• Mobyシミュレータにアルゴリズムを実装し、イベント駆動シミュレーションにおける厳密な貫通回避を実現するために、シンプレクティックEulerおよびRunge-Kutta積分法を用いる。
• 効率的な行列演算を用いてPPMソルバを最適化し、MEXファイルのコンパイルを回避しつつも、顕著な高速化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スリップなしまたは粘性摩擦を伴う剛体接触モデルは、Coulomb摩擦の指数的最悪ケース計算量を回避する多項式時間計算量で解けるか？
• RQ2 Coulomb摩擦を含まない接触モデルにおいて、非線形最適化変数の数を著しく削減できるか？
• RQ3 標準のcopositive-plus LCPを正定値半定値LCPに置き換えることで、数値的安定性およびソルバの収束性が向上するか？
• RQ4 提案手法は、物理的忠実性を損なわずに、ロボットの歩行や把持シミュレーションにおける実行時間に顕著な改善をもたらすか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、O(m³ + m²n)の期待される時間計算量を達成し、計算負荷を接触点の数から系内の物体数に移行する。
• スリップなし接触モデルのシミュレーションは、ベースライン（416.284s）と比較して28%高速化（301.796s）、平均接触点数は6、標準偏差は8であった。
• 粘性摩擦モデルでは37%の高速化（2936.36s対2139.73s）を達成したが、ODEの感度により急激な運動が生じたため、長時間の実行が観察された。
• MEX最適化を行わずとも、修正されたPPMアルゴリズムはquadprogを約20%高速に実行し、平均5.5回のピボット操作で完了した。
• 正定値半定値LCP定式化により、標準のCoulomb摩擦ソルバと比較してソルバの失敗が減少し、数値的安定性が向上した。
• 貫通なしの検証可能なシミュレーションが可能となり、性能を犠牲にすることなく、高精度なロボット動力学のシミュレーションに適している。